Примеры

Пример 1. Найдем производную функции y = y(x) , заданной неявно уравнением

ln√ x2 + y2 = arctg y x .

(1)

Решение.

1. В данном случае

F(x, y) = ln√ x2 + y2 − arctg  y x .

Вычисляем ее частные производные:

F‘x = x x2 + y2   −   1 1 + (y/x)2   −   y x2   =   x + y x2 + y2 ,

и

F‘y = y x2 + y2   −   1 1 + (y/x)2 1 x   =   y − x x2 + y2 .

Очевидно, что F(x, y) , F‘x и F‘y непрерывны при всех x ≠ 0 и F‘y ≠ 0 при x ≠ y . Следовательно, уравнение (1) определяет функцию y(x) , дифференцируемую во всех точках (x, y) области, где
x ≠ 0 и x ≠ y .

2 . По формуле для производной неявной функции

dy dx   = −   F‘x F‘y

получаем

dy dx   = − (x + y)/(x2 + y2) (y − x)/(x2 + y2)   =   x + y x − y .

Пример 2. Найдем производные 1–го и 2–го порядков функции y(x) , заданной неявно уравнением

y + siny − x = 0.

(2)

Решение.

1. Здесь F(x, y) = y + sin y − x , F‘x = −1 , F‘y = 1 + cos y . Очевидно, что F(x, y) , F‘x и F‘y непрерывны при всех x, y и F‘y ≠ 0 при y ≠ π(2k + 1) и ( k = 0, ±1, … ). Следовательно, уравнение (2) определяет функцию y(x) , дифференцируемую во всех точках (x, y) области, где y ≠ π(2k + 1) и (k = 0, ±1, …).

2. По формуле для производной неявной функции

dy dx   = − F‘x F‘y

получаем

dy dx   = − − 1 1 + cos y   =   1 1 + cos y .

(3)

3 . Найдем производную 2–го порядка функции y(x) . Из (3) получим

d2y dx2   =   d dx dy dx   =   d dx 1 1 + cos y .

Дифференцируя функцию

1

1 + cos y

  как сложную функцию x и используя формулу (3), получаем

 

d2y dx2   =   d dy 1 1 + cos y · dy dx   = − − sin y (1 + cos y)2 · 1 1 + cos y   =   sin y (1 + cos y)3 .

Пример 3. Найдем частные производные функции z(x, y) , заданной неявно уравнением

ez − xyz = 0.

Решение.

1. Здесь F(x, y, z) = ez − xyz , F‘x = − yz , F‘y = − xz и F‘z = ez − xy .

2. По формулам для частных производных неявной функции z(x, y)

∂z ∂x   = −   F‘x F‘z     и     ∂z ∂y   = − F‘y F‘z

получаем

∂z ∂x   = − − yz ez − xy   =   yz ez − xy ,   ∂z ∂y   = − − xz ez − xy   =   xz ez − xy .