Дифференцирование неявных функций

Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям

1. F(x0,y0) = 0 ;
2. частные производные F‘x и F‘y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;
3. F‘y(x0,y0) ≠ 0 .

Тогда

1. уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x) , удовлетворяющую условию y(x0) = y0 .
2. функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0 .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:

• условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;
• из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0 .

Производная функции, заданной неявно

Функция y(x) в окрестности точки x0 обращает уравнение F(x,y) = 0 в тождество, т.е.

F(x,y(x)) ≡ 0.

Дифференцируя это тождество, получaeм dF(x, y(x)) ≡ 0, а в силу инвариантности формы полного дифференциала имеем

F‘x · dx + F‘y · dy(x) ≡ 0.

Отсюда получаем следующие формулы.

Дифференциал функции, заданной неявно:

dy(x) = −   F‘x F‘y · dx,

Производная функции, заданной неявно:

dy dx   = −   F‘x F‘y .

Теорема 1 обобщается для неявных функций любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция F(x,y,z) = 0 удовлетворяет условиям

1. F(x0,y0,z0) = 0 ;
2. частные производные F‘x , F‘y и F‘z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0) ;
3. F‘z(x0,y0,z0) ≠ 0 .

Тогда

1. уравнение F(x,y,z) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки (x0,y0) единственную непрерывную функцию z(x,y) , удовлетворяющую условию z(x0,y0) = z0 ;
2. функция z(x,y) имеет непрерывные частные производные в окрестности точки (x0,y0) , вычисляемые по формулам
   

   ∂z ∂x   = −   F‘x F‘z ,    и     ∂z ∂y   = −   F‘y F‘z .