Примеры

Пример 1. Найдем частные производные 2–го порядка функции

z = x3 + xy2 − 5xy3 + y5.

Решение.

1. Находим частные производные 1–го порядка:

z‘x = 3x2 + y2 − 5y3,         z‘y = 2xy − 15xy2 + 5y4.

2. Находим частные производные 2–го порядка, дифференцируя полученные выражения для z‘x и z‘y по x и по y . Получаем:

z»xx = 6x;         z»xy = 2y − 15y2;         z»yx = 2y − 15y2;         z»yy = 2x − 30xy + 20y3.

Замечание. Смешанные производные z»xy и z»yx непрерывны при всех x, y . Согласно теореме о равенстве смешанных производных они равны.

Пример 2. Найдем частные производные z»’xxy , z»’xyx , z»’xyy , z»’yxx функции z = x2y3 .

Решение. Последовательно находим:

z‘x = 2xy3,  z‘y = 3x2y2;

z»xx = 2y3,  z»xy = 6xy2,  z»yx = 6xy2;

z»’xxy = (z»xx)’y = 6y2,  z»’xyx = (z»xy)’x = 6y2;  z»’xyy = (z»xy)’y = 12xy,  z»’yxx = (z»yx)’x = 6y2.

Замечание. Здесь смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны:

z»’xxy = z»’xyx = z»’yxx = 6y2,

но не равны смешанной частной производной z»’xyy ,отличающейся от них количеством дифференцирований по x и по y .

Пример 3. Найдем частную производную w»’zyx функции w = exyz .

Решение.

1. Находим частную производную 1–го порядка:

∂w ∂z   = x y · exyz.

2. Дифференцируя полученное выражение по y , получаем

∂2w ∂y∂z   =   ∂ ∂y (x y · exyz)   =   x · exyz + x y · exyz · x z   =   (x + x2yz) · exyz.

3. Дифференцируя полученное выражение по x , получаем искомую частную производную 3–го порядка:

∂3w ∂x∂y∂z   =   ∂ ∂x (x + x2yz) · exyz   = = (1 + 2xyz) · exyz + (x + x2yz) · exyz · yz   =   (x2y2z2 + 3xyz + 1) · exyz.

Пример 4. Докажем, что функция

u   =   ln 1 √ x2 + y2

удовлетворяет уравнению

∂2u ∂x2   +   ∂2u ∂y2   = 0.

(1)

Решение.

Для удобства дифференцирования представим функцию u в виде

u = −   1 2  ln(x2 + y2).

1. Находим частные производные 1–го порядка:

∂u ∂x   = − x x2 + y2 ;         ∂u ∂y   = − y x2 + y2 .

2. Дифференцируя u‘x повторно по x , получаем

∂2u ∂x2   =   ∂ ∂x − x x2 + y2   =  − x2 + y2 − 2x · x (x2 + y2)2   =   x2 − y2 (x2 + y2)2 .

3. Дифференцируя u‘y повторно по y , получаем

∂2u ∂y2   =   ∂ ∂y − y x2 + y2   =  − x2 + y2 − 2y · y (x2 + y2)2   =   y2 − x2 (x2 + y2)2 .

4. Подставляя найденные выражения для u»xx и u»yy в левую часть уравнения (1), получаем тождество:

x2 − y2 (x2 + y2)2   +   y2 − x2 (x2 + y2)2 ≡ 0.

Следовательно, функция u удовлетворяет уравнению (1).

Пример 5. Пусть y = j(x − at) + ψ(x + at) ( a — параметр). Докажем, что y удовлетворяет уравнению

∂2y ∂t2   = a2  ∂2y ∂x2 ,

(2)

каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции j и ψ .

Решение.

1. Находим частные производные 1–го порядка:

∂y ∂t   = j ‘(x − at) · ∂ ∂t (x − at) + ψ ‘(x + at) · ∂ ∂t (x + at) = j ‘ · ( − a) + ψ ‘ · a = a · (ψ ‘ − j ‘);

 

∂y ∂x   = j ‘ ∂ ∂x (x − at) + ψ ‘ ∂ ∂x (x − at) = j ‘ + ψ ‘.

2. Находим частные производные 2–го порядка:

∂2y ∂t2   = a ψ » · ∂ ∂t (x + at) − j » · ∂ ∂t (x − at)   = a · (ψ » · a − j » · ( − a)) = a2 · ψ » + a2 · j »;

 

∂2y ∂x2   = j » · 1 + ψ » · 1 = j » + ψ ».

3. Подставляя найденные выражения для y»tt и y»xx в уравнение (2), получаем тождество:

a2ψ» + a2j» = a2(ψ» + j»).

Следовательно, функция y является решением уравнения (2) при условии, что j и ψ — любые дважды дифференцируемые функции.

Замечание. Дифференциальное уравнение (2) называется волновым уравнением, а функция

y = j(x − at) + ψ(x + at)

(3)

общим решением волного уравнения.

С физической точки зрения решение (3) интересно тем, что представляет сумму двух бегущих волн произвольной формы, движущихся в противоположных направлениях со скоростью a . Например, при a0 функция y = sin(x − at) описывает волну, движущуюся слева направо, а y = sin(x + at) — волну, движущуюся справа налево. Функция y = sin(x − at) + sin(x + at) — суперпозиция двух волн, движущихся в противоположных направлениях.