Примеры

Пример 1. Вычислим дифференциал 2–го порядка функции   z = x2 + 3xy − y3   в точке M0(2, −1) .

Решение.

Дифференциал 2–го порядка дважды непрерывно дифференцируемой функции z = f(x, y) в точке (x0, y0) вычисляется по формуле

d2z(x0, y0)   =   ∂2z ∂x2 · dx2 + 2 ∂2z ∂x∂y · dx dy + ∂2z ∂y2 · dy2,

(1)

где все частные производные вычисляются в точке (x0, y0) .

1. Находим частные производные 1–го порядка функции z = x2 + 3xy − y3 :

∂z ∂x   = 2x + 3y,     ∂z ∂y   = 3x − 3y2.

2. Находим частные производные 2–го порядка функции z = x2 + 3xy − y3 :

∂2z ∂x2   = 2,         ∂2z ∂y2   = − 6y,         ∂2z ∂x∂y   =   ∂2z ∂y∂x   = 3.

(2)

3. Вычисляем частные производные 2–го порядка функции z = x2 + 3xy − y3 в точке M0(2, − 1) . Для этого в выражения для частных производных (2) подставляем значения x = 2 и y = − 1 . Получаем

∂2z ∂x2   = 2,         ∂2z ∂y2   = 6,         ∂2z ∂x∂y   =   ∂2z ∂y∂x   = 3.

4. По формуле (1) получаем искомый дифференциал 2–го порядка:

d2z(2, −1)   =   ∂2z ∂x2 · dx2 + 2  ∂2z ∂x∂y · dx dy + ∂2z ∂y2  dy2 =  2 · dx2 + 6 · dx dy − 6y · dy2.

Пример 2. Вычислим дифференциал 2–го порядка функции z = xy в точке M0(1, 1) .

Решение.

Дифференциал 2–го порядка дважды непрерывно дифференцируемой функции z = f(x, y) в точке (x0, y0) вычисляется по формуле

d2z(x0, y0)   =   ∂2z ∂x2 · dx2 + 2 ∂2z ∂x∂y · dx dy + ∂2z ∂y2 · dy2,

(1)

где все частные производные вычисляются в точке (x0, y0) .

1. Находим частные производные 1–го порядка функции z = x y

∂z ∂x   =   yxy − 1,         ∂z ∂y   =   xy ln x.

2. Находим частные производные 2–го порядка функции z = xy :

∂2z ∂x2   =   y(y − 1)xy − 2,         ∂2z ∂y2   =   xy ln2 x,         ∂2z ∂x∂y   =   ∂2z ∂y∂x   =  xy −1 (y ln x + 1).

(3)

3. Вычисляем частные производные 2–го порядка функции z = xy в точке M0(1, 1) . Для этого в выражения для частных производных (3) подставляем значения x = 1 и y = 1 . Получаем

∂2z ∂x2   = 0,         ∂2z ∂y2   = 0,         ∂2z ∂x∂y   =   ∂2z ∂y∂x   = 1.

4. По формуле (1) получаем искомый дифференциал 2–го порядка:

d2z(1, 1)   =   ∂2z ∂x2 · dx2 + 2  ∂2z ∂x∂y · dx dy + ∂2z ∂y2  dy2   =  2 · dx dy.