Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z(x, y) дифференцируема в точке (x, y) и ее аргументам x и y даны приращения соответственно dx и dy . Тогда полный дифференциал 1–го порядка функции z определяется формулой

dz = ∂z ∂x · dx + ∂z ∂y · dy.

(1)

Если функция z(x, y) дифференцируема в некоторой окрестности точки (x, y) , то dz является функцией x и y . Кроме того, dz зависит также от dx и dy .

Пусть x и y — независимые переменные. Приращения независимых переменных dx и dy не зависят от x и y и в этом смысле их можно считать постоянными. Тогда dz будет функцией только аргументов x и y . Допустим, что эта функция дифференцируема в точке (x, y) и ее аргументам даны приращения dx , dy (причем, совпадающие с теми, которые вызвали приращение функции Δz с дифференциалом dz ). Эти приращения вызовут приращение Δ(dz) , главная линейная часть которого является полным дифференциалом d(dz) . Этот полный дифференциал называется дифференциалом 2–го порядка функции z(x, y) в точке (x, y) и обозначается символом d2z .

Покажем, что дифференциал 2–го порядка выражается через частные производные 2–го порядка, вычисленные в точке (x, y) и является квадратичной функцией (формой) приращений dx и dy .

Применяя к (1) правила дифференцирования и учитывая постоянство dx и dy , получаем:

d2z = d ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy   =   dx · d ∂z ∂x + dy · d ∂z ∂y   =

 

	=  dx · ∂ ∂x ∂z ∂x dx + ∂ ∂y ∂z ∂x dy   +	(2)
	+  dy · ∂ ∂x ∂z ∂y dx + ∂ ∂y ∂z ∂y dy

Если смешанные частные производные  

∂2z

∂y∂x

  и  

∂2z

∂x∂y

  непрерывны в точке (x, y) и, следовательно, равны, то d2z приводится к виду

d2z = ∂2z ∂x2 · dx2 + 2  ∂2z ∂x∂y · dx dy + ∂2z ∂y2 · dy2,

(3)

т.е. является квадратичной функцией (формой) dx и dy .

Операторная форма дифференциалов высших порядков

Если  

∂

∂x

  и  

∂

∂y

  рассматривать как обозначения дифференциальных операторов, результатами действия которых на функцию z(x, y) являются частные производные  

∂z

∂x

  и  

∂z

∂y

,  то

∂ ∂x  dx + ∂ ∂y  dy z   =   ∂z ∂x  dx + ∂z ∂y  dy

и

∂ ∂x dx   +   ∂ ∂y dy 2 z = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy =

 

= ∂ ∂x ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy · dx + ∂ ∂y ∂z ∂x dx + ∂z ∂y dy · dy =

 

= ∂2z ∂x2 dx + ∂2z ∂x∂y dy · dx + ∂2z ∂y∂x dx + ∂2z ∂y2 dy · dy.

Теперь формулу (3) можно записать в операторной форме

d2z = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy 2 z.

(4)

Если d2z является дифференцируемой функцией независимых переменных x и y в окрестности точки (x, y) , то аналогично вышеизложенному вводится понятие дифференциала 3–го порядка: d3z = d(d2z) при постоянных dx и dy .

Вообще, дифференциал n –го порядка определяется как дифференциал от дифференциала
(n − 1) –го порядка: dnz = d(dn − 1z) при постоянных dx и dy а его связь с частными производными n –го порядка выражается формулой

dnz = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy n z.

(5)

Замечание. Если x и y не независимые переменные, а функции, то формула (5) при n ≥ 2 в общем случае неверна и, следовательно, дифференциалы порядков n ≥ 2 функции z = f(x, y) не обладают свойством инвариантности формы.

Рассмотренные определения дифференциалов высших порядков и их свойства распространяются и на функции с большим, чем два, количеством аргументов.