Предварительные сведения

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть задана функция f(x) на интервале (a, b) и пусть она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Следовательно, у нее в каждой точке x О (a, b) существует производная f‘(x). Она, в свою очередь, является функцией от x.

Если функция f‘(x) дифференцируема в точке x0 О (a, b) , то ее производная в этой точке х0 называется второй производной от функции f(x) , т.е.

d2f dx2 (x0)   =   d dx df dx x = x0.

n –й производной от функции f(x) называется первая производная от (n − 1) –й производной функции f(x) при условии, что она существует, т.е.:

f(n)(x) = (f(n − 1)(x)) ‘.

Формула Тейлора для функции одной переменной.

Теорема Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеет непрерывные производные до (n + 1) –го порядка включительно. Тогда для любой точки x из этой окрестности

f(x) = f(x0) + f‘(x0) 1! (x − x0) + f»(x0) 2! (x − x0)2 + … + f(n)(x0) n! (x − x0)n + f(n + 1)(ξ) (n + 1)! (x − x0)n + 1,

(1)

где точка ξ лежит между точками x и x0 , т.е. ξ = x0 + θ(x − x0) , 0<θ<1>

Формула (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.