Примеры

Пример 1.  Найдем стационарные точки функции

z = y3 + 2x2 − 12xy + 4x − 12y + 2.

Решение.

1. Найдем частные производные данной функции. Получаем:

z‘x = 4x − 12y + 4,                z‘y = 3y2 − 12x − 12.

2. Для отыскания координат стационарных точек получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

4x − 12y + 4 = 0 3y2 − 12x − 12 = 0

3. Решаем систему уравнений. Для этого выражаем x из 1–го уравнения:

x = 3y − 1

и подставляем во 2–е уравнение. Получаем

y2 − 12y = 0.

Это уравнение имеет корни y1 = 0 и   y2 = 12 .

Соответствующие значения x суть   x1 = − 1 ,   x2 = 35 .

Ответ.  Стационарные точки: функции z = y3 + 2x2 − 12xy + 4x − 12y + 2 суть   ( −1, 0) и   (35, 12) .

Пример 2.  Найдем стационарные точки функции

z = x3 + 3xy2 − 15x − 12y.

Решение.

1. Найдем частные производные данной функции. Получаем

z‘x = 3x2 + 3y2 − 15,            z‘y = 6xy − 12.

2. Для отыскания координат стационарных точек получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

x2 + y2 − 5 = 0, xy − 2 = 0.

3. Решаем систему уравнений. Для этого выражаем x из 2–го уравнения x = 2/y и подставляем в 1–е уравнение. Получаем

2 y 2 + y2 − 5 = 0   ЬЮ   (y2)2 − 5y2 + 4 = 0   ЬЮ   (y2 − 1)(y2 − 4) = 0.

Это уравнение имеет корни y1 = 1 ,   y2 = − 1 ,   y3 = 2 и   y4 = − 2 .

Соответствующие значения x суть   x1 = 2 ,   x2 = − 2 ,   x3 = 1 ,   x4 = − 1 .

Ответ. Стационарные точки функции z = x3 + 3xy2 − 15x − 12y   суть   (2, 1),   ( −2, −1),   (1, 2)
и  ( −1, −2).