Пусть функция
определена в некоторой области D М Rn и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k (k<n) соотношениями:
|
| Fi(x1, x2, … , xn) = 0 (i = 1,2, … ,k). |
|
(2) |
Условия (2) называются уравнениями связи.
Пусть координаты точки M0(x10, … ,xn0) О D удовлетворяют уравнениям связи (2).
Точка M0(x10, … ,xn0) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность Oδ(M0) точки M0 , что для любой точки M(x1, … ,xn) О Oδ(M0) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(M) ≥ f(M0)) .
Методы нахождения условного экстремума
Метод исключения переменных
Ограничимся для простоты случаем n = 2 , k = 1 , т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области D М R2 и ее аргументы связаны условием
Допустим, что уравнение (3) определяет неявно функцию y(x) . Тогда можно рассматривать сложную функцию f(x,y(x)) = u(x) . Если эта функция имеет экстремум в точке x0 и y(x0) = y0 , то точка (x0,y0) является точкой условного экстремума функции f(x,y) , аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (3).
Если уравнение связи (3) можно разрешить относительно y и перейти от неявного задания функции y(x) к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции y(x) .
Метод неопределенных множителей Лагранжа
Пусть функции f(x1, x2, … , xn) и Fi(x1, x2, … , xn) (i = 1,2, … ,k) дифференцируемы в некоторой области D М Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1, x2, … , xn) при условиях связи
|
| Fi(x1, x2, … , xn) = 0 (i = 1,2, … ,k). |
|
|
эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:
|
| L(x1,x2,:::,xn; λ1,λ2,:::,λk) = f(x1,x2,:::,xn) + λ1 · F1(x1,x2,:::,xn) + |
|
|
|
| + λ2 · F2(x1,x2,:::,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,:::,xm). |
|
(4) |
Схема метода Лагранжа:
1. Составляем функцию Лагранжа (4).
2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам
и приравниваем их к нулю.
Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:
Если (x10,:::,xn0; λ10,:::,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,:::,xn0) функции f(x1,x2,:::,xn) при условиях связи (2), в которой функция может иметь условный экстремум.
3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа
при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи
|
|
dx1 + … +
dxn = 0, i = 1, … ,k. |
|
|
Замечание. При решении практических задач во многих случаях наличие условного экстремума в стационарной точке определяется существом задачи.
Обоснование метода Лагранжа для случая n = 2 , k = 1 приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 170).
Геометрический смысл условного экстремума функции:
Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 .
