Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Условный экстремум

07 апреля 2017 | Рубрика: Книги

Пусть функция

u = f(x1x2,  … , xn)
(1)

определена в некоторой области D М Rn и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k   (k<n) соотношениями:

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).
(2)

Условия (2) называются уравнениями связи.

Пусть координаты точки M0(x10, … ,xn0) О D удовлетворяют уравнениям связи (2).

Точка M0(x10, … ,xn0) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность Oδ(M0) точки M0 , что для любой точки M(x1, … ,xn) О Oδ(M0) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство   f(M) ≤ f(M0)   (f(M) ≥ f(M0)) .

Методы нахождения условного экстремума

Метод исключения переменных

Ограничимся для простоты случаем n = 2 ,   k = 1 , т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области D М R2 и ее аргументы связаны условием

F(x,y) = 0.
(3)

Допустим, что уравнение (3) определяет неявно функцию y(x) . Тогда можно рассматривать сложную функцию f(x,y(x)) = u(x) . Если эта функция имеет экстремум в точке x0 и y(x0) = y0 , то точка (x0,y0) является точкой условного экстремума функции f(x,y) , аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (3).

Если уравнение связи (3) можно разрешить относительно y и перейти от неявного задания функции y(x) к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции y(x) .

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции f(x1x2,  … , xn) и Fi(x1x2,  … , xn)   (i = 1,2, … ,k)  дифференцируемы в некоторой области D М Rn . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции f(x1x2,  … , xn) при условиях связи

Fi(x1x2,  … , xn) = 0  (i = 1,2, … ,k).

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

L(x1,x2,:::,xn; λ12,:::,λk) = f(x1,x2,:::,xn) + λ1 · F1(x1,x2,:::,xn) +

 

+ λ2 · F2(x1,x2,:::,xn) + … + λk · Fk(x1,x2,:::,xm).
(4)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (4).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

L
x1

=

f
x1

+ λ1 ·

F1
x1

+ … + λk ·

Fk
x1

,

 

… … … … …

 

L
xn

=

f
xn

+ λ1 ·

F1
xn

+ … + λk ·

Fk
xn

,

 

… … … … …

 

L
∂λ1

= F1(x1x2,  … , xn),

 

… … … … …

 

L
∂λk

= Fk(x1x2,  … , xn)

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему (n + k) уравнений с (n + k) неизвестными:

f
x1

+ λ1 ·

F1
x1

+ … + λk ·

Fk
x1

= 0,

 

… … … … …

 

f
xn

+ λ1 ·

F1
xn

+ … + λk ·

Fk
xn

= 0,

 

… … … … …

 

F1(x1x2,  … , xn) = 0,

 

… … … … …

 

Fk(x1x2,  … , xn) = 0.

Если (x10,:::,xn0; λ10,:::,λk0) — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку (x10,:::,xn0) функции f(x1,x2,:::,xn) при условиях связи (2), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке M0 , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

d2L(M0)   =  

n
2L
xixj

(M0dxidxj

i, j = 1

при значениях дифференциалов dx1, … ,dxn , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

fi(M0)
x1

 dx1 + … +

fi(M0)
xn

 dxn = 0,  i = 1, … ,k.

Замечание. При решении практических задач во многих случаях наличие условного экстремума в стационарной точке определяется существом задачи.

Обоснование метода Лагранжа для случая n = 2 ,   k = 1 приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 170).

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при F(x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью F(x,y) = 0 .

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь