Экстремумы функций одной переменной
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x) , если существует такая окрестность Oδ(x0) точки х0 , что для всех x О Oδ(x0) f(x) ≤ f(x0)
(f(x) ≥ f(x0)) .
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума
Теорема 1. Если точка х0 — точка экстремума функции f(x) , то в этой точке производная функции f(x) либо равна 0, либо не существует.
Достаточные условия экстремума
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0 и имеет конечную производную f‘(x) в некоторой окрестности точки х0 , за исключением быть может самой точки х0 .
Тогда, если f‘(x) при переходе точки х через х0 (слева направо) изменяет знак с ” + ” на ”–”, то точка х0 — точка локального максимума функции f(x) , а если с ”–” на ” + ”, то точка х0 — точка локального минимума. Если же при переходе через точку х0 производная не меняет знак, то в точке х0 нет экстремума.
Теорема 4. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 , причем
df(x0) = 0 , а d2f(x0) > 0 (d2f(x0) < 0 ).
Тогда точка х0 есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x) .
Теорема 3. Пусть функция f(x) имеет в точке х0 производные f‘(x0) и f»(x0) , причем
f‘(x0) = 0 , а f»(x0) > 0 (f»(x0) < 0 ).
Тогда точка х0 есть точка локального минимума (локального максимума) функции f(x) .
Теорема Вейерштрасса
Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
