Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Примеры

03 июля 2008 | Рубрика: Книги

Пример 1. Найдем какую–нибудь первообразную и неопределенный интеграл функции f(x) = x2 .

Решение.

1. Так как

x3
3

= x2,

то из определения первообразной следует, что

F(x) =

x3
3

.

2. Неопределенный интеграл как совокупность всех первообразных функции f(x) = x2 описывается формулой

 x2 dx = F(x) + C =
x3
3
+ C,

где C — произвольная постоянная.

Пример 2. Докажем, что функция

sgn x =
1,  x>0,
0,  x = 0,
− 1,  x<0

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0 , и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0 .

Решение.

1. На любом промежутке, не содержащем точку 0 , функция   sgn x постоянна и равна 1 (или   −1 ). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид   F(x) = x + C  (или F(x) = − x + C ),  где C — некоторое число.

2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0 , например ( −1, 1) . На интервале (− 1, 0) любая первообразная функции   sgn x имеет вид   F1(x) = −x + C1 , а на интервале (0, 1) любая первообразная функции   sgn x имеет вид   F2(x) = x + C2 .

При любом выборе постоянных C1 и C2 мы получаем на интервале ( −1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x = 0 . Например, если выбрать C1 = C2 = C , то получим функцию F(x) = |x| + C , недифференцируемую в точке 0 . Следовательно, функция   sgn x не имеет первообразной на интервале ( −1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0 .

Пример 3. Определим закон движения материальной точки s(t) , если ее мгновенная скорость равна v(t) .

Решение.

Так как мгновенная скорость является производной функции s(t) , определяющей закон движения материальной точки, отыскание функции s(t) сводится к вычислению первообразной функции v(t) . Любая первообразная определяется формулой

s(t) =  v(tdt + C,
(1)

где постоянная C обычно определяется дополнительными (начальными) условиями.

Пример 4. Установим закон движения материальной точки s(t) , если ее скорость определяется формулой v(t) = a·(tt0) + v0 ,  и   s(t0) = s0 .

Решение.

1. В данном случае закон движения (1) имеет вид:

s(t) =  v(tdt + C =  [a·(tt0) + v0dt + C =  

a·(tt0)2
2

  +   v0 t + C.

(2)

2. Значение C находим с помощью начального условия s(t0) = s0 . Получаем

s0 = v0 · t0 + C  Ю  C = s0v0 · t0.

3. Подставляя найденное значение C в (2), получаем:

s(t)   =  

a·(tt0)2
2

  +   v0 · (tt0) + s0.

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь