Пример 1. Найдем какую–нибудь первообразную и неопределенный интеграл функции f(x) = x2 .
Решение.
1. Так как
‘ = x2, |
то из определения первообразной следует, что
F(x) =
. |
2. Неопределенный интеграл как совокупность всех первообразных функции f(x) = x2 описывается формулой
|
где C — произвольная постоянная.
Пример 2. Докажем, что функция
|
имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0 , и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0 .
Решение.
1. На любом промежутке, не содержащем точку 0 , функция sgn x постоянна и равна 1 (или −1 ). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид F(x) = x + C (или F(x) = − x + C ), где C — некоторое число.
2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0 , например ( −1, 1) . На интервале (− 1, 0) любая первообразная функции sgn x имеет вид F1(x) = −x + C1 , а на интервале (0, 1) любая первообразная функции sgn x имеет вид F2(x) = x + C2 .
При любом выборе постоянных C1 и C2 мы получаем на интервале ( −1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x = 0 . Например, если выбрать C1 = C2 = C , то получим функцию F(x) = |x| + C , недифференцируемую в точке 0 . Следовательно, функция sgn x не имеет первообразной на интервале ( −1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0 .
Пример 3. Определим закон движения материальной точки s(t) , если ее мгновенная скорость равна v(t) .
Решение.
Так как мгновенная скорость является производной функции s(t) , определяющей закон движения материальной точки, отыскание функции s(t) сводится к вычислению первообразной функции v(t) . Любая первообразная определяется формулой
|
(1) |
где постоянная C обычно определяется дополнительными (начальными) условиями.
Пример 4. Установим закон движения материальной точки s(t) , если ее скорость определяется формулой v(t) = a·(t − t0) + v0 , и s(t0) = s0 .
Решение.
1. В данном случае закон движения (1) имеет вид:
|
(2) |
2. Значение C находим с помощью начального условия s(t0) = s0 . Получаем
|
3. Подставляя найденное значение C в (2), получаем:
|
