Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ 1 x2  dx .

Решение.

Воспользуемся табличным интегралом от степенной функции

∫ xα dx   =   xα + 1 α + 1   + C

при α = −2 . Получаем

∫ 1 x2 dx   =   x − 2 + 1 − 2 + 1   + C   =   −  1 x   + C.

Пример 2. Найдем интеграл

∫ 3√ x dx .

Решение.

Воспользуемся табличным интегралом от степенной функции

∫ xαdx   =   xα + 1 α + 1   + C

при α = 1/3 . Получаем

∫ 3√ x dx   =   ∫ x1/3dx   =   x1/3 + 1 1/3 + 1   + C   =   3 4  x4/3 + C   =   3 4  3√ x4 + C.

Пример 3. Найдем интеграл

∫ cos(2x + 3) dx.

Решение.

Воспользуемся табличным интегралом

∫ cos x dx   =   sin x + C

и формулой

∫  f(a · x + b) dx   =   1 a   ∫ f(u) du         при   u = a · x + b.

В нашем случае a = 2 и b = 3 .

Получаем

∫ cos(2x + 3) dx   =   1 2   ∫ cos u du         при   u = 2 x + 3

  =  

1

2

 sin u + C         при   u = 2 x + 3,

т.е.

∫ cos(2x + 3) dx   =  

1

2

  sin(2x + 3) + C .

Пример 4. Найдем интеграл

∫ 3x dx.

Решение.

Имеем 3x = ex ln3 . Поэтому

∫ 3x dx   =   ∫ ex ln3 dx.

Воспользуемся табличным интегралом

∫ ex dx   =   ex + C

и формулой

∫ f(a · x + b) dx   =   1 a   ∫ f(u) du         при   u = a · x + b.

В нашем случае a = ln3 и b = 0 .

Получаем

∫ 3x dx   =   1 ln3   ∫ eu du         при   u = ln3 · x

 

= 1 ln3   eu + C         при   u = ln3 · x,

т.е.

∫ 3x dx   =   1 ln3   ex ln3 + C   =   1 ln3   3x + C.

Пример 5. Найдем интеграл

∫   1 2 + x2  dx .

Решение.

Используя свойство линейности неопределенного интеграла, имеем

∫   1 2 + x2  dx   =   1 2   ∫   1 1 + x √ 2 2  dx .

Воспользуемся табличным интегралом

∫   1 1 + x2  dx   =  arctgx + C

и формулой

∫  f(a · x + b) dx   =   1 a   ∫ f(u) du     при  u = a · x + b.

В нашем случае a =

1

√ 2

  и b = 0 .

Получаем

∫   1 2 + x2  dx   =   1 2  √ 2   ∫   1 1 + u2  du     при  u = x √ 2

 

=   1 √ 2   arctg u + C     при  u = x √ 2 ,

т.е.

∫   1 2 + x2  dx   =   1 √ 2  arctg x √ 2   +  C.

Пример 6. Найдем интеграл

∫   1 9 − x2  dx .

Решение.

Используя свойство линейности неопределенного интеграла, имеем

∫   1 9 − x2  dx   =   1 9   ∫   1 1 − x 3 2  dx .

Воспользуемся табличным интегралом

∫   1 1 − x2  dx   =   1 2  ln   1 + x 1 − x   + C

и формулой

∫  f(a · x + b) dx   =   1 a   ∫ f(u) du     при  u = a · x + b.

В нашем случае a =

1

3

  и b = 0.

Получаем

∫   1 9 − x2  dx   =   1 9 · 3 ∫   1 1 − u2  du     при  u = x 3

 

=   1 9 · 3 · 1 2  ln 1 + u 1 − u   +  C     при  u = x 3  ,

т.е.

∫   1 9 − x2  dx   =   1 6   ln 3 + x 3 − x   +  C.

Пример 7. Найдем интеграл

∫   1 √ 5 − x2  dx .

Решение.

Используя свойство линейности неопределенного интеграла, имеем

∫   1 √ 5 − x2  dx   =   1 √ 5   ∫   1 √ 1 − x √ 5 2    dx.

Воспользуемся табличным интегралом

∫   1 √ 1 − x2  dx   =  arcsinx  +  C

и формулой

∫  f(a · x + b) dx   =   1 a   ∫ f(u) du     при  u = a · x + b.

В нашем случае a =

1

√ 5

  и b = 0 .

Получаем

∫   1 √ 5 − x2  dx   =   1 √ 5 · √ 5   ∫   1 √ (1 − u2  du     при  u = x √ 5

 

=  arcsinu + C     при  u = x √ 5 ,

т.е.

∫   1 √ 5 − x2  dx   =  arcsin x √ 5   +  C.

Пример 8. Найдем интеграл

∫   (1 − x)2 x √ x  dx .

Решение.

Преобразуем подынтегральное выражение:

∫   (1 − x)2 x √ x  dx   =   ∫   1 − 2x + x2 x √ x  dx   =   ∫   1 x √ x   −   2x x √ x   +   x2 x √ x  dx   =

 

=   ∫   1 x √ x   −   2 1 √ x   +   √ x  dx .

Последний интеграл в силу свойства линейности равен линейной комбинации интегралов, каждый из которых является табличным:

∫   1 x √ x   −   2 1 √ x   +   √ x  dx   =   ∫   1 x √ x  dx   −  2  ∫ 1 √ x  dx   +   ∫ √ x  dx   =

 

=   ∫ x − 3/2dx − 2  ∫ x − 1/2dx + ∫ x1/2 dx   =   x − 3/2 + 1 − 3/2 + 1   −  2  x − 1/2 + 1 − 1/2 + 1   +   x1/2 + 1 1/2 + 1   +  C  =

 

=   − 2 x−1/2   −  4  x1/2   +   2 3  x3/2   +   C

Пример 9. Найдем интеграл

∫  tg2x dx .

Решение.

Преобразуем подынтегральное выражение, используя тригонометрические формулы:

∫  tg2x dx   =   ∫ 1 cos2x   −  1  dx .

Последний интеграл в силу свойства линейности равен разности интегралов, каждый из которых является табличным:

∫ 1 cos2x   −  1  dx   =   ∫   1 cos2x  dx   −   ∫  1 dx   =   tg x  −  x   +   C.

Пример 10. Найдем интеграл

∫   1 + cos2x 1 + cos2x  dx .

Решение.

Преобразуем подынтегральное выражение, используя тригонометрические формулы:

∫   1 + cos2x 1 + cos2x  dx   =   ∫   1 + cos2x 2cos2x  dx   =   1 2   ∫ 1 + cos2x cos2x  dx   =   1 2   ∫ 1 cos2x   +  1  dx .

Последний интеграл в силу свойства линейности равен сумме интегралов, каждый из которых является табличным:

1 2   ∫ 1 cos2x   +  1  dx   =   1 2     ∫ 1 cos2x  dx   +   ∫  1 dx   =

=   1 2  (tg x + x)  +  C.