Простейшие приемы интегрирования

По одному из общих методов интегрирования искомый неопределенный интеграл необходимо выразить через известные неопределенные интегралы, собранные в таблицы и поэтому называемые табличными. В прстейших приемах интегрирования искомый интеграл выражается через табличные с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения и с использованием свойств неопределенных интегралов. В других приемах применяется также подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям и замена переменной.

Таблица неопределенных интегралов от простейших элементарных функций

∫ xα dx   =   xα + 1 α + 1   +  C     (α ≠ −1)		∫ 1 x  dx = ln|x| + C
∫ ex dx = ex + C		∫ 1 1 + x2  dx   = arctg x + C
∫ cos x dx = sin x + C		∫ 1 1 − x2  dx   = Arth x + C = 1 2  ln 1 + x 1 − x + C
∫ sin x dx = −cos x + C		∫ 1 √ 1 − x2  dx = arcsin x + C
∫ 1 cos2x  dx   =  tg x + C		∫ 1 √ 1 + x2  dx   = Arsh x + C   =  ln|x + √ x2 + 1 | + C
∫ 1 sin2x  dx   = −ctg x + C		∫ 1 √ x2 − 1  dx   = Arch x + C   =  ln|x + √ x2 − 1 | + C
∫ ch x dx = sh x + C		∫ 1 ch2x  dx   =  th x + C
∫ sh x dx = ch x + C		∫ 1 sh2x  dx   =  − cth x + C.

Справедливость формул таблицы неопределенных интегралов следует из равенств производных их левых и правых частей.

Составлены таблицы неопределенных интегралов, содержащие тысячи формул. Ответы для многих (но далеко не всех) табличных интегралов можно найти с помощью компьютерных программ, относящихся к классу т.н. систем символьной математики, например, Analytic, Derive, Maple, Mathematica, MaXima, MuPAD, Reduce и др.