Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ x · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x · (ex ) ‘  dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫  U(x) · V ‘(x) dx  =  U(x) · V(x)  −   ∫ U ‘(x) · V(x) dx

с U(x) = x и V(x) = ex ,  получаем:

∫  x · ex dx = x · ex − ∫ ex dx = x · ex − ex + C.

Можно поступить иначе.

Подведем в исжодном интеграле функцию ex под знак дифференциала. Получим

∫  x · ex dx  =   ∫  x dex.

Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям

∫  U(x) dV(x)  =  U(x) · V(x)  −   ∫  V(x) dU(x)

с U(x) = x и V(x) = ex ,  получаем:

∫  x dex  =  x · ex − ∫ ex dx   =   x · ex − ex − C.

Пример 2. Найдем интеграл

∫  x2 · ex dx.

Решение.

Представим данный интеграл в виде

∫ x2 · (ex )‘ dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫  U(x) · V‘(x) dx  =  U(x) · V(x)  −   ∫ U‘(x) · V(x) dx

с U(x) = x2 и V(x) = ex ,  получаем:

∫  x2 · ex dx  =  x2 · ex − 2  ∫  x · ex dx.

(1)

2. Последний интеграл в (1) интегрируем по частям, полагая U(x) = x ,   V(x) = ex . Получаем:

∫ x · ex dx  =  x · ex − ∫ ex dx  =  x · ex − ex − C.

3. Используя этот результат в (1), получаем

∫  x2 · ex dx = x2 · ex − 2x · ex + 2ex + C1,

где C1 = 2C — произвольная постоянная.

Заметим, что в процессе нахождения неопределенного интеграла функция x2 подверглась двухкратному дифференцированию, а функция ex — двухкратному интегрированию.

Пример 3. Найдем интеграл

∫ ln(x) dx.

Решение.

Применяя формулу интегрирования по частям

∫  U(x) dV(x)  =  U(x) · V(x)  −   ∫  V(x) dU(x)

с U(x) = ln(x) и V(x) = x ,  получаем:

∫  ln(x) dx  =  ln(x) · x − ∫  x dln(x).

Последний интеграл легко найти:

∫  x dln(x)  =   ∫  x  1 x  dx  =  x + C.

Поэтому

∫  ln(x) dx  =  x · ln(x) − x − С.

Пример 4. Найдем интеграл

∫  ex · cosx dx.

Решение.

1. Представим данный интеграл в виде

∫  ex · (sinx)‘ dx.

Используя формулу интегрирования по частям

∫  U(x) · V‘(x) dx  =  U(x) · V(x)  −   ∫ U‘(x) · V(x) dx

с U(x) = ex и V(x) = sinx ,  получаем:

∫  ex · (sinx)‘ dx  =  ex · sinx − ∫ (ex)‘ · sinx dx.

(2)

2. Последний интеграл представим в виде

∫ (ex)‘ · sinx dx  =   − ∫ ex · (cosx)‘ dx

и применим формулу интегрирования по частям

∫  U(x) · V‘(x) dx  =  U(x) · V(x)  −   ∫ U‘(x) · V(x) dx

с U(x) = ex и V(x) = cosx . Получаем

∫ (ex)‘ · sinx dx  =   − ∫ ex · (cosx)‘ dx  =   − ex · cosx + ∫  (ex)‘ · cosx dx  =   − ex · cosx + ∫  ex · cosx dx

(3)

3. Сопоставляя (2) и (3), получаем:

∫  ex · cosx dx  =  ex · sinx + ex · cosx − ∫  ex · cosx dx .

Прибавляя к обеим частям этого равенства ∫  ex · cosx dx и учитывая, что ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx равно не нулю, а произвольной постоянной C , имеем:

2 ∫  ex · cosx dx  =  ex · sinxex · cosx + C.

Поэтому

∫  ex · cosx dx   =   ex · sin x + ex · cos x 2   +  C1 ,

где C1 = C/2 — произвольная постоянная.

Заметим, что при выполнении тождественных преобразований часто говорят: “перенесем слагаемое в левую часть с изменением знака”. Но такого математического действия нет. Есть прибавление к обеим частям равенства одного и того же слагаемого.

Если к обеим частям равенства A + B = C + D прибавить −D, то получим A + B − D = C + D − D , и если D − D = 0 , то деиствительно получается равенство A + B − D = C , в котром, по сравнению с исходным равенством A + B = C + D , слагаемое D оказалось перемещенным из правой части в левую с изменением знака. Но если D неопределенный интеграл, то D − D равно не нулю, а произвольной постоянной функции !

Пример 5. Найдем интеграл

∫   1 x3  sin 1 x  dx.

Решение. Заметим, что

1 x2  sin  1 x   =   cos 1 x ‘.

Поэтому подведем в искомом интеграле функцию

1 x2  sin  1 x

под знак дифференциала. Получим

∫   1 x3  sin  1 x  dx  =   ∫   1 x  dcos 1 x  .

Очевидно, что функция

U(x) = 1 x

не выражается через функцию

V(x) = cos 1 x  .

Но функция V(x) выражается через функцию U(x) . Поэтому следует применить формулу интегрирования по частям

∫  U(x) dV(x)  =  U(x) · V(x)  −   ∫  V(x) dU(x) ,

что дает:

∫   1 x  dcos  1 x   =   1 x  cos  1 x   −   ∫  cos 1 x  d 1 x  .

В последнем интеграле можно принять функцию U(x) = 1/x   в качестве новой независимой переменной и таким образом получить:

∫  cos 1 x  d 1 x   =   ∫  cosU dU    при  U = 1 x

 

=  sinU + С    при  U = 1 x .

Поэтому

∫   1 x3  sin 1 x  dx   =   ∫   1 x  d cos  1 x   =   1 x  cos  1 x   −  sin  1 x   −  C .