Пусть надо вычислить интеграл вида
|
где v(x) имеет очевидную первообразную V(x).
Тогда
| ∫ U(x) · v(x) dx = ∫ U(x) · V‘(x) dx = ∫ U(x) dV(x) . |
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V(x).
Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то
| ∫ U(x) dV(x) = ∫ w(V(x)) dV(x) = ∫ w(t) dt , |
где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла
∫ w(t) dt
В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной.
Если функция U(x) не выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то может оказаться полезным преобразование, называемое интегрированием по частям. Оно определяется следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на некотором интервале и на этом интервале существует интеграл ∫ V(x)U ‘(x) dx .
Тогда существует интеграл ∫ U(x)V ‘(x) dx и справедлива формула
| ∫ U(x)V ‘(x) dx = U(x)V(x) − ∫ U ‘(x)V(x) dx. | (1) |
Доказательство следует из формулы дифференцирования произведения. Оно приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 168.
Замечание 1. Очевидно, что в формуле интегрирования по частям оператор дифференцирования, обозначенный штрихом, перемещается с V на U. Этим обусловлена важная роль формулы при доказательстве самосопряженности линейных дифференциальных операторов.
Замечание 2. Формулу интегрирования по частям удобно применять также в виде
| ∫ U(x) · v(x) dx = U(x) · V(x) − ∫ u(x) · V(x) dx, | (2) |
где функция v(x) имеет очевидную первообразную V(x) , а U(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная u(x) = U‘(x) является более простой функцией, чем она сама.
Замечание 3. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде в виде
| ∫ U(x) dV(x) = U(x)V(x) − ∫ V(x) dU(x) . | (3) |
Метод интегрирования по частям применяется в следующих случаях:
1. Подынтегральное выражение содержит в качестве множителя одну из функций ln x , arcsin x , arccos x , arctg x . Если применить формулу (2), полагая в ней U(x) равной одной из этих функций, то подынтегральное выражение Vxu(x) может оказаться проще исходного.
2. Подынтегральное выражение имеет вид: Pn(x) eαx , Pn(x)sinαx или P(x)cosαx , где Pn(x) — многочлен степени n .
Интегралы от таких функций вычисляются n –кратным применения формулы интегрирования по частям (1), причем в качестве U(x) каждый раз следует брать многочлен. После каждого интегрирования по частям степень многочлена понижается на единицу.
3. Подынтегральное выражение имеет вид
| eαx · cosβx, eαx · sinβx, sin(lnx), cos(lnx). |
После двукратного интегрирования по частям получается линейное алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла.
4. После подведения под знак дифференциала получился интеграл ∫ U(x) dV(x) , в котором функция U(x) не выражается через V(x), но функция V(x) выражается через U(x). Тогда можно применить формулу интегрирования по частям (3).
