Интегрирование элементарных дробей

Элементарными (или простейшими) дробями называются дроби следующих четырех типов:

I.   

A

x − a

,

II.   

A

(x − a)k

,

III.   

Mx + N

x2 + 2px + q

        ( p2 − q < 0 ) ,

IV.   

Mx + N

(x2 + 2px + q)k

        ( p2 − q < 0 ) ,

где A , M , N , a , p , q — действительные коэффициенты, k — натуральное число.

Интегралы от дробей типа I и II вычисляются подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной:

∫ A x − a  dx   =   A  ∫ 1 x − a  d(x − a)   =   ln |x − a| + C

 

∫ A (x − a)k  dx   =   A  ∫ 1 (x − a)k  d(x − a)   =   A (1 − k) (x − a)k − 1   +   C.

Для интегрирования дроби типа III выделяем полный квадрат в знаменателе, чтобы подобрать подстановку:

∫ Mx + N x2 + 2px + q  dx   =   ∫ Mx + N (x + p)2 + (q − p2)  dx .

Теперь очевидно, что интеграл упрощается подстановкой x = —p + a · t , где a = √

q − p2

:

 

∫ Mx + N x2 + px + q  dx   =   1 a ∫ M a t + N − M p t2 + 1  dt   =

 

=  M  ∫ t t2 + 1  dt   +   N − M p a   ∫ 1 t2 + 1  dt.

(1)

Таким образом, задача сведена к отысканию интегралов

I1   =   ∫ t t2 + 1  dt     и     I2   =   ∫ 1 t2 + 1  dt.

 

Интеграл I1 находим подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной:

I1   =   1 2   ∫ 1 t2 + 1  d (t2 + 1)   =   1 2  ln (t2 + 1)   +  C.

Интеграл I2 является табличным:

I2   =   ∫ 1 t2 + 1  dt   =   arctg t + C .

Подставляя I1 и I2 в формулу (1) и возвращаясь к переменной x подставляя t = (x + p)/a , получаем искомый интеграл от дроби типа III .

Интеграл от дроби типа IV упрощается с помощью тех же преобразований, что и интеграл от дроби типа III:

∫ Mx + N (x2 + 2px + q)k  dx   =   1 a2k − 1 ∫ M a t + N − Mp (t2 + 1 )k  dt   =

 

=  M a2k − 2 ∫ t (t2 + 1 )k  dt   +   N − Mp a2k − 1 ∫ 1 (t2 + 1 )k  dt

(2)

Таким образом, задача сведена к отысканию интегралов

I1   =   ∫ t (t2 + 1)k  dt     и     I2   =   ∫ 1 (t2 + 1)k  dt .

Интеграл I1 находим подведением под знак дифференциала

I1   =   1 2   ∫ 1 (t2 + 1)k  d(t2 + 1)   =   1 2 (1 − k) (t2 + 1)k − 1   +  C.

Для вычисления интеграла I2 будем рассматривать его как функцию k:   I2 = I2(k) , (k = 1, 2, 3, … ) . Очевидно, что I2(1) = arctg t + C:

С помощью интегрирования по частям получаем

I2(k)   =   ∫ 1 (t2 + 1)k  dt   =   t (t2 + 1)k   +   2k ∫ t2 (t2 + 1)k+1  dt   =

=   t (t2 + 1)k   +   2k ∫ 1 (t2 + 1)k  dt   —   2k ∫ 1 (t2 + 1)k+1  dt .

Поэтому

I2(k)   =   t (t2 + 1)k   +   2k I2(k)   —   2k I2(k+1) .

Отсюда

I2(k + 1)   =   t 2k (t2 + 1)k   +   2k − 1 2k   I2(k) ,         (k = 1, 2, … ).

(3)

По этой формуле при k = 1 интеграл I2(2) выражается через I2(1) = arctg t + C:

I2( 2 )   =   t 2 (t2 + 1)   +   1 2 ( arctg t + C ) .

Зная I2(2), мы можем использовать формулу (3) при k = 2, чтобы выразить I2(3) через I2(2) . Затем I2(4) выражается через I2(3), I2(5) выражается через I2(4), и т.д. Таким образом можно найти I2(k) с любым k > 1 .

Замечание. Интеграл I2(k) можно находить также с помощью подстановки   t = tg u. При k = 2, 3 и 4 такой способ может показаться более простым.

Подставляя I1 и I2 в формулу (2) и возвращаясь к переменной x подставляя t = (x + p)/a , получаем искомый интеграл от дроби типа IV .