1. Интегрирование дробно–линейных иррациональностей
R
|
(1) |
где R — рациональная функция и p , q, … — натуральные числа.
При вычислении интегралов от функций вида (1) с помощью подстановки
x =
, tn =
, |
где n — общий знаменатель дробей 1/p, 1/q, … , приходим к интегралам от рациональных функций t .
2. Интегрирование квадратичных иррациональностей
R(x, √
) и R(x, √
) |
где R — рациональная функция.
а) Для интегрирования выражений R(x, √
| a2 − x2 |
) используются подстановки
x = a · sin t или x = a · cos t .
б) Для интегрирования выражений R(x, √
| a2 + x2 |
) dx используются подстановки
x = a · tg t или x = a · sh t .
в) Для интегрирования выражений R(x, √
| x2 − a2 |
) dx используются подстановки
x =
| a |
| cos t |
или x = a · ch t .
Во всех случаях, применив формулу замены переменной в неопределенном интеграле, получаем интегралы вида
| ∫ Rs(sin t, cos t) dt , |
где Rs — рациональноя функция, т.е. задача сводится к интегрированию триглнометрических выражений.
3. Интегрирование дифференциального бинома
Дифференциальными биномами, или биномиальными дифференциалами называются дифференциалы вида
| xm (a + bxn )p dx, |
где a и b — вещественные коэффициенты, отличные от нуля, m , n , p — рациональные числа,
p ≠ 0 .
Условия Чебышева
Интеграл от дифференциального бинома выражается через конечную комбинацию элементарных функций только в следующих трех случаях:
1) p — целое число.
Подстановка x = ts , где s — общий знаменатель дробей m и n , приводит к интегралу от рациональной функции.
2)
| m + 1 |
| n |
— целое число.
Подстановка
x = n√
, ts = a + bxn , |
где s — знаменатель дроби p , приводит к интегралу от рациональной функции.
3)
| m + 1 |
| n |
+ p — целое число.
Подстановка
x = n√
, ts = b + ax−n , |
где s — знаменатель дроби p , приводит к интегралу от рациональной функции.
