Предварительные сведения

Правила дифференцирования
Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции и C — постоянная функция, то

1. C ‘ = 0
2. (u + v)’ = u‘ + v‘
3. (Cu)’ = Cu‘
4. (uv)’ = u‘v + uv‘

5. u v

   ‘ =  

   u‘v − uv‘

   v2

           (v ≠ 0).

Производная сложной функции
Если функция u(x) дифференцируема в точке х0 , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0) , тогда сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x0 , причем

F ‘(x0) = f ‘(u0) · u ‘(x0).

Производные основных элементарных функций

( xα ) ‘ = α xα − 1
(ax ) ‘ = ax lna	(logax) ‘ =  1 x lna
(ex ) ‘ = ex	(lnx)’ = 1 x
(sinx)’ = cosx	(arcsin x)’ = 1 √ 1 − x2
(cosx)’ = − sinx	(arccos x) ‘ = −   1 √ 1 − x2
(tg x)’ =  1 cos2x	(arctg x)’ =  1 1 + x2
(ctg x)’ = −   1 sin2x	(arcctg x)’ = −   1 1 + x2
(sh x)’ = ch x	(Arsh x)’ = 1 √ x2 + 1
(ch x)’ = sh x	(Arch x) ‘ =   1 √ x2 − 1
(th x)’ =  1 ch2x	(Arth x)’ =  1 1 − x2
(cth x)’ = −   1 sh2x	(Arcth x)’ =   1 1 − x2

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида

z = a + b · i,

где a и b — действительные числа, i — мнимая единица ( i2 = − 1 ).

Действительные числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа a + bi и обозначаются   a = Re z ,   b = Im z .

С комплексными числами выполняются операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем по правилам действий над алгебраическими двучленами, полагая i2 = − 1 .

Числа   z = a + b · i   и   z = a − b · i    (a, b — действительные числа) называются сопряженными комплексными числами.

В множестве комплексных чисел квадратное уравнение всегда имеет корни, так как   √

D

  имеет смысл и при D < 0 . В случае D < 0 квадратное уравнение имеет два комплексно сопряженных корня.

Многочлены

Многочленом называется функция P(z) вида

P(z) = a0 + a1 z + a2 z2 + … + an zn,

где z — независимая переменная. Числа a0 , a1,  ··· , an называются коэффициентами многочлена. (В общем случае коэффициенты и независимая переменная рассматриваются как комплексные величины).

Если an ≠ 0 , то P(z) называется многочленом n –й степени и обозначается символом Pn(z) . При n = 0   P(z) = P0(z) = a0 (a0 ≠ 0) — многочлен нулевой степени. Если P(z) ≡ 0 , то многочлен называется нулевым многочленом и его степень не определена.

Число z0 называется нулем многочлена P(z) , если P(z0) = 0 .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(z) на z − z1 , равен Pn(z1) , т.е.

Pn(z) = (z − z1) Qn − 1(z) + Pn(z1).

Основная теорема алгебры.  Всякий многочлен степени, равной или большей единицы, имеет корень.

Из этих теорем следует, что любой многочлен степени n можно представить в виде

Pn(z) = an (z − z1)k1 (z − z2)k2  ··· (z − zm)km,

где z1, z2,  ··· , zm — корни (различные) многочлена Pn(z) кратности k1, k2,  … , km  ( k1 + k2 + … + km = n ).

Это представление называется разложением многочлена на линейные множители.

Многочлены с действительными коэффициентами обладают следующим свойством:

Если многочлен P(z) с действительными коэффициентами обращается в ноль при z = z0, то он обращается в ноль и при z = z0.

Пусть z0 = a + bi и z0 = a − bi     (a, b — действительные) — комплексные нули многочлена Pn(z) с действительными коэффициентами. Тогда в разложение многочлена Pn(z) будут входить линейные множители   (z − z0) и (z − z0) . Их произведение есть (z − z0) (z − z0) = z2 + pz + q, где p = − 2a ,   q = a2 + b2  и   D = p2 − 4q<0>

Таким образом, многочлен Pn(z) с действительными коэффициентами можно разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:

Pn(z) = an (z − x1)k1  ···  (z − am)km (z2 + p1z + q1)l1  ···  (z2 + prz + qr)lr.

(1)

Линейные множители (z − x1), ··· ,(z − xm) соответствуют действительным нулям многочлена   x1,  … , xm  ( k1,  … , km — их кратности), а квадратичные множители   (z2 + p1z + q1),  … , (z2 + prz + qr)  соответствуют парам комплексно сопряженных нулей  ( l1,  … , lr — кратности каждого из нулей в парах), причем

m ki ∑ i = 1   +   2 · r li ∑ i = 1   =  n .

Разложение (1) имеет место и в случае, когда z = x — действительная переменная.

Пусть Pn(z) и Qn(z) многочлены степени n . Если Pn(z) = Qn(z)  при всех z , то говорят, что многочлены Pn(z) и Qn(z) тождественны:

Pn(z)   ≡   Qn(z) .

Условие тождественности двух многочленов

Для того чтобы многочлены Pn(z) и Qn(z) были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты при одинаковых степенях z были равны.