I. Линейность определенного интеграла
Если функции f( x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b], то при любых числах α, β О R функция α · f(x) + β · g(x ) также интегрируема на [a, b] и справедливо равенство
dx = α ·
f(x) dx + β ·
g(x) dx . |
II. Аддитивность определенного интеграла
а) Если функция f( x) интегрируема на отрезке [a, b] и a<c<b, то f (x) интегрируема на отрезках [a, c], [с, b] и справедливо равенство
f(x) dx =
f(x) dx +
f(x) dx . |
б) Если функция f( x) интегрируема на отрезках [a, c] и [с, b], причем a<c<b, то f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и справедливо равенство
f(x) dx +
f(x) dx =
f(x) dx . |
Замечание. Примем, что
f(x) dx = −
f(x) dx . |
Тогда свойство II.б будет иметь место и без условия a<c<b :
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [u, v], то при любом расположении точек a, b, c на отрезке [u, v] справедливо равенство
f(x) dx =
f(x) dx +
f(x) dx . |
III. Монотонность определенного интеграла:
Если функции f( x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] (a<b) и f(x) ≥ g(x) при всех x О [a , b], то
f(x) dx ≥
g(x) dx . |
Следствие 1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] (a<b) и f(x) ≥ 0 при всех x О [a , b], то
f(x) dx ≥ 0. |
Если неотрицательная функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и существует такая точка ξ О [a, b ], в которой f(x) непрерывна и положительна, то
f(x) dx > 0 . |
Следствие 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и m ≤ f(x) ≤ M при всех x О [a, b ], то
m · (b − a) ≤
f(x) dx ≤ M · (b − a). |
IV. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то функция |f(x)| также интегрируема на этом отрезке, причем справедливо неравенство
≤
|f(x)| dx . |
V. Если функция f( x), интегрируема на отрезке [a, b] и m ≤ f (x) ≤ M при всех x О [a, b ], то существует такое число μ, удовлетворяющее неравенствам m ≤ μ ≤ M, что
f(x) dx = μ · (b − a). |
Число
μ =
. |
называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].
Геометрический смысл среднего значения
Среднее значение неотрицательной функции f(x) на отрезке [a, b] — это высота прямоугольника с основанием b − a, площадь которого равна площади криволинейной трапеции (рис. 1).
VI. Теорема о среднем значении
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется такая точка ξ, что справедливо равенство
f(x) dx = f(ξ) · (b − a), ξ О [a, b]. |
Доказательства свойств интеграла приведены в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 43–48.)
Геометрический смысл теоремы о среднем значении
Для непрерывной неотрицательной функции f(x) теорема о среднем значениии утверждает существование прямоугольника с основанием b − a и высотой, равной значению функции f(x) в некоторой точке ξ О [a,b], площадь которого равна площади криволинейной трапеции (рис. 2).
