Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Формула Ньютона–Лейбница

27 января 2005 | Рубрика: Книги

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке  [ab]  и  x О  [ab] — переменная точка. Тогда интеграл

x
a

f(t  dt 

существует и является функцией своего верхнего предела x. Обозначим интеграл с переменным верхним пределом символом F(x), т.е.

F(x) =  

x
a

f(t  dt .

Для непрерывной функции f(x) справедлива теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу:

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке  [ab], то функция

F(x) =  

x
a

f(t  dt 

дифференцируема в каждой точке отрезка, причем  «x О  [ab]

F ‘(x) =  

d
dx

  

   

x
a

f(t  dt  

= f(x).

(1)

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 52.)

Замечание. Теорема 1 показывает, что функция f(x), непрерывная на отрезке  [ab],  имеет на этом отрезке первообразную

F(x) =

x
a

f(t  dt .

Формула Ньютона–Лейбница

Определенный и неопределенный интегралы связывает основная теорема интегрального исчисления:

Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке  [ab] и имеет на нем первообразную, то для любой ее первообразной F(x) на этом отрезке справедлива формула

 

b
a

f(x  dx  = F(b) − F(a).

(2)

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 54.)

Формула (2) называется формулой Ньютона–Лейбница. Ее часто пишут в виде

 

b
a

f(x  dx  = F(x)

b
a

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь