Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и x О [a , b] — переменная точка. Тогда интеграл
f(t) dt |
существует и является функцией своего верхнего предела x. Обозначим интеграл с переменным верхним пределом символом F(x), т.е.
F(x) =
f(t) dt . |
Для непрерывной функции f(x) справедлива теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу:
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то функция
F(x) =
f(t) dt |
дифференцируема в каждой точке отрезка, причем «x О [a, b]
F ‘(x) =
= f(x). |
(1) |
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 52.)
Замечание. Теорема 1 показывает, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], имеет на этом отрезке первообразную
F(x) =
f(t) dt . |
Формула Ньютона–Лейбница
Определенный и неопределенный интегралы связывает основная теорема интегрального исчисления:
Теорема 2. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и имеет на нем первообразную, то для любой ее первообразной F(x) на этом отрезке справедлива формула
f(x) dx = F(b) − F(a). |
(2) |
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 54.)
Формула (2) называется формулой Ньютона–Лейбница. Ее часто пишут в виде
f(x) dx = F(x)
|
