Пусть A = (aij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами
| det A или |
|
Определитель матрицы n×n называется определителем n–го порядка.
Правило вычисления определителей
1. Определителем матрицы 1×1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.
2. Определитель матрицы 2×2 вычисляется по формуле
|
= a11a22 − a12 a21 |
3. Определитель матрицы 3×3 вычисляется по формуле
|
= a11· |
|
− a12 · |
|
+ a13 · |
|
Аналогично мы будем вычислять определитель матрицы n×n (определитель n–го порядка), сводя его к определителям n−1–го порядка, определители n−1–го порядка копределителям n−2–го порядка и т.д.
Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя, введем понятия дополнительного минора и алгебраического дополнения элемента матрицы:
Дополнительным минором Mij элемента матрицы n–го порядка aij (i, j = 1, …, n) называется определитель матрицы n−1–го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением Aij элемента матрицы n–го порядка aij (i, j = 1, …, n) называется число (−1)i + j Mij, где Mij — дополнительный минор.
Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое вычисляется по формуле
det A = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n =
|
Эта формула называется разложением определителя по первой строке.
Определитель квадратной матрицы A = (aij) порядка n может быть вычислен по любой из формул:
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin =
= 1, …, n |
— разложение по i–ой строке, или
det A = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj =
«j = 1, …, n |
— разложение по j–ому столбцу.
