Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
a11 x1 + a12 x2+…+a1n xn=b</>1 | |
a21 x1 + a22 x2+…+a2n xn=b</>2 | |
………………………….. | |
an1 x1 + an2 x2+…+ann xn=b</>n |
Расширенная матрица этой системы имеет вид
a11 |
a12 |
… |
a1n |
b</>1 |
|||
a21 |
a22 |
… |
a2n |
b</>2 |
|||
… |
… |
… |
… |
… |
|||
an1 |
an2 |
… |
ann |
b</>n |
Метод Гаусса основывается на следующих утверждениях.
I. Системы уравнений, полученные в результате следующих преобразований:
- перестановка уравнений;
- умножение уравнения на любое число. отличное от нуля;
- прибавление одногоуравнения, умноженного на любое число, к другому уравнению,
являются эквивалентными, т.е. имеют одни и те же решения.
II. Преобразованиям уравнений системы, очевидно, соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
- перестановка строк;
- умножение всех элементов строки на любое число. отличное от нуля;
- прибавление элементов одной строки, умноженных на одно и то же число, к соответствующим элементам другой строки.
Матрицы A и B, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований строк, называются эквивалентными, что обозначается A ~ B.
Чтобы решить систему n уравнений с n неизвестными, нужно расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк привести к такому виду, чтобы основная матрица системы (стоящая слева от черты) была приведена к единичной, тогда на месте столбца свободных членов (справа от черты) окажется решение системы:
a11 | a12 | … | a1n | b</>1 | ~ | 1 | 0 | … | 0 | x10 | ||||||
a21 | a22 | … | a2n | b2 | 0 | 1 | … | 0 | x20 | |||||||
… | … | … | … | … | … | … | … | … | … | |||||||
an1 | an2 | … | ann | bn | 0 | 0 | … | 1 | xn0 |
Ответ: x1 = x10, x2 = x20, …, xn = xn0.
Метод Гаусса является наиболее широко распространенным методом решения задач линейной алгебры; как вы увидите в дальнейшем, с его помощью решаются самые разные задачи.