Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Метод Гаусса

19 января 2005 | Рубрика: Книги

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

a11 x1 + a12 x2+…+a1n xn=b</>1
a21 x1 + a22 x2+…+a2n xn=b</>2
…………………………..
an1 x1 + an2 x2+…+ann xn=b</>n

Расширенная матрица этой системы имеет вид

a11

a12

a1n

b</>1

a21

a22

a2n

b</>2

an1

an2

ann

b</>n

Метод Гаусса основывается на следующих утверждениях.

I. Системы уравнений, полученные в результате следующих преобразований:

  • перестановка уравнений;
  • умножение уравнения на любое число. отличное от нуля;
  • прибавление одногоуравнения, умноженного на любое число, к другому уравнению,

являются эквивалентными, т.е. имеют одни и те же решения.

II. Преобразованиям уравнений системы, очевидно, соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

  • перестановка строк;
  • умножение всех элементов строки на любое число. отличное от нуля;
  • прибавление элементов одной строки, умноженных на одно и то же число, к соответствующим элементам другой строки.

Матрицы A и B, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований строк, называются эквивалентными, что обозначается A ~ B.

Чтобы решить систему n уравнений с n неизвестными, нужно расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк привести к такому виду, чтобы основная матрица системы (стоящая слева от черты) была приведена к единичной, тогда на месте столбца свободных членов (справа от черты) окажется решение системы:

a11 a12 a1n b</>1 ~ 1 0 0 x10
a21 a22 a2n b2 0 1 0 x20
an1 an2 ann bn 0 0 1 xn0

Ответ: x1 = x10,   x2 = x20, …,   xn = xn0.

Метод Гаусса является наиболее широко распространенным методом решения задач линейной алгебры; как вы увидите в дальнейшем, с его помощью решаются самые разные задачи.

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь