Из определения обратной матрицы A · A − 1 = E следует, что для вычисления матрицы, обратной квадратной матрице n –го порядка A , нужно решить матричное уравнение
| A · X = E, |
где X — неизвестная обратная матрица. Это матричное уравнение эквивалентно n системам n линейных уравнений n–го порядка с одной и той же основной матрицей системы A , но разными столбцами свободных членов, а именно, столбцами единичной матрицы. Поэтому решать все эти системы методом Гаусса удобно одновременно.
Таким образом, для вычисления обратной матрицы методом Гаусса
1. Дописываем единичную матрицу E к матрице A (для удобства отделяя ее чертой).
2. С помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к единичной. Тогда на месте единичной матрицы окажется искомая обратная матрица:
| ( A | E) ~ … ~ ( E | A − 1 ) . |
Если матрица A не может быть приведена к единичной, то это означает, что она вырожденная и, следовательно, не имеет обратной (следовательно, можно не проверять заранее, что det A ≠ 0 ).
