Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Примеры

14 сентября 2016 | Рубрика: Книги

Пример 1. Докажем, что система векторов координатного пространства Rn

e1 = [1, 0, 0 … , 0] ,

e2 = [0, 1, 0, … , 0] ,

… … … … … ,

en = [0, 0, … , 0, 1]

образует некоторый базис в Rn , и найдем размерность этого пространства.

Решение.

1. Система векторов линейно независима.

2. Любой вектор x = [α1, α2, … , αn] О Rn может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2, … , en :

x = [α1, α2, … , αn] = α1e1 + α2e2 + … + αnen.

Таким образом, система векторов e1, e2, … , en — базис впространстве Rn .

3. Так как количество векторов в базисе равно n , то размерность пространства Rn действительно равна n , что оправдывает его обозначение.

Отметим, что в базисе e1, e2, … , en (и только в нем) числа α1, α2, … , αn являются координатами вектора x , т.е. x = {α1, α2, … , αn} (отсюда происходит название координатного пространства).

Пример 2. Докажем, что система векторов 1, t, t2 , образует в пространствемногочленов степени, меньшей или равной 2, некоторый базис, и найдем размерность этого пространства.

Решение.

1. Система векторов линейно независима.

2. Любой многочлен 2–й степени P2(t) = a0 + a1t + a2t2 является линейной комбинацией векторов 1, t, t2 .

3. Так как количество векторов в базисе равно 3, то размерность пространства многочленов степени, меньшей или равной 2, равна 3.

Отметим, что в этом базисе (и только в нем) коэффициенты многочлена являются его координатами, т.е. в наших обозначениях P2(t) = {a0, a1, a2} .

Пример 3. Образуют ли векторы пространства R3 e1 = {1, 2, 3} и e2 = {0, 2, 3} базис в R3 ?

Решение.

Эти векторы линейно независимы, однако их количество меньше размерности пространства. Следовательно, эти векторы не образуют базиса в трехмерном пространстве R3 .

Геометрическая интепретация.

Любой вектор, не лежащий в плоскости векторов e1, e2 , не может быть представлен в виде их линейной комбинации.

Пример 4. Образуют ли векторы пространства R3 e1 = {1, 2, 3} , e2 = {0, −1, 1} и e3 = {1, 1, 4} базис в R3 ?

Решение.

Так как векторы e1, e2, e3 линейно зависимы, то они не образуют базис.

Пример 5. Даны три вектора пространства R3 e1 = {2, 0, 1} ,   e2 = {1, −1, 1} и e3 = {1, −1, −2} . Докажем, что эти векторы образуют базис в R3 и найдем координаты векторов x = {3, −1, 2} , y = {7, −1, 1} и 2x + 4y в этом базисе.

Решение.

1. Так как векторы e1, e2, e3 линейно независимы и их количество равно размерности пространства, то они образуют базис в R3 и, следовательно по ним можно разложить любой вектор пространства. В частности,

x = α1e1 + α2e2 + α3e3.

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех уравнений с тремя неизвестными:

2α1 + α2 + α3 = 3
α2α3 = −1
α1 + α2 − 2α3 = 2

Решим эту систему методом Гаусса

2 1 1 3
0 −1 −1 −1
1 1 −2 2
~
1 1 −2 2
0 −1 −1 −1
0 −1 5 −1
~

 

~
1 1 −2 2
0 1 1 1
0 −1 5 −1
~
1 0 −3 1
0 1 1 1
0 0 6 0
~

 

~
1 0 −3 1
0 1 1 1
0 0 1 0
~
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0

Таким образом, получаем x = 1 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3 , т.е.в базисе e1, e2, e3 вектор x имеет координаты {1, 1, 0} . (Обратите внимание на то, что в базисе e1, e2, e3 координаты векторов e1 = {1, 0, 0} , e2 = {0, 1, 0} и e3 = {0, 0, 1} .)

2. Аналогично находим координаты вектора y в базисе e1, e2, e3 .Получаем y = {3, 0, 1} .

3. Так как в фиксированном базисе при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на это число, получаем 2x + 4y = {14, 2, 4} .

Замечание. Если вы внимательно проследите ход решения этого примера, то можете сделать следующий вывод: чтобы найти разложение произвольного вектора x по данному базису, достаточно записать матрицу из столбцов базисных векторов (рассматривая их как координатные столбцы в некотором базисе), дописав к ней столбец вектора x . С помощью элементарных преобразований строк или с помощью компьютера преобразуем матрицу к гауссову виду, тогда на месте исходного столбца вектора x получим координатный столбец вектора x в базисе e1, e2, e3 .

Пример 6. Найдем какой–нибудь базис и размерность пространства M квадратных матриц 2–ого порядка.

Решение.

Пусть

A =
a11 a12
a21 a22

– произвольная квадратная матрица 2–ого порядка.

Рассмотрим систему матриц

e1 =
1 0
0 0
  e2 =
0 1
0 0
  e3 =
0 0
1 0
  e4 =
0 0
0 1

и докажем, что эта система образует базис в пространстве M .

1. Докажем сначала, что эта система линейно независима.

Пусть

α1e1 + α2e2 + α3e3 + α4e4 = O,

где O — нулевая матрица 2–ого порядка, т.е.

α1
1 0
0 0
+ α2
0 1
0 0
+ α3
0 0
1 0
+ α4
0 0
0 1
=
0 0
0 0

С учетом введенных операций с матрицами, получаем

α1 α2
α3 α4
=
0 0
0 0

Следовательно, α1 = α2 = α3 = α4 = 0 , т.е. матрицы e1, e2, e3, e4 линейно независимы.

2. Любая матрица A 2–ого порядка может быть представлена в виде линейной комбинации матриц e1, e2, e3, e4 :

A =
a11 a12
a21 a22
=

 

= a1
1 0
0 0
+ a2
0 1
0 0
+ a3
0 0
1 0
+ a4
0 0
0 1

Это означает, что матрицы e1, e2, e3, e4 образует базис в пространстве квадратных матриц 2–ого порядка и, следовательно, размерность этого пространства равна 4.

Замечание. Обратите внимание на то, что координатная запись матрицы A в базисе e1, e2, e3, e4 (и только в нем!): A = {a11, a12, a21, a22} .

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь