Пусть Xn , Ym — линейные пространства и
| ^ |
| A |
: Xn → Ym — линейный оператор.
Пусть e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn и f1, f2, … , fm — некоторый базис в Ym . Тогда «x О Xn можно представить в виде:
x = α1e1 + α2e2 + … + αnen
и его образ y =
| ^ |
| A |
x О Ym можно представить в виде:
y = β1f1 + β2f2 + … + βmem .
Поставим задачу: выразить координаты образа произвольного вектора через координаты этого вектора (т.е. координаты образа через координаты прообраза: β через α ).
Используем угловые скобки для обозначения координат.
Из свойств линейности угловых скобок по второму аргументу и линейности оператора
| ^ |
| A |
следует:
| ^ |
| A |
| ^ |
| A |
| ^ |
| A |
e1 в базисе f
| ^ |
| A |
e2 в базисе f
| ^ |
| A |
en в базисе f
| βi | = бfi, yс = бfi,
xс = бfi,
(α1e1 + α2e2 + … + αnen)с = |
|||||
= бfi, α1
e1 + α2
e2 + … + αn
enс = |
||||||
= α1 бfi,
e1с + α2 бfi,
e2с + … αn бfi,
enс. |
||||||
Так как в последнем выражении в угловых скобках стоят числа, обозначим их
aik = бfi,
ekс, (i = 1, … , m, k = 1, … , n). |
Очевидно, что aik — i –ая координата образа k –ого базисного вектора.
Окончательно получаем искомое выражение координат образа через координаты прообраза
βi =
i = 1, … , m. |
Итак, действие линейного оператора
| ^ |
| A |
: Xn → Ym определяется набором из m × n чисел, которые удобно располагать в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.
Теперь дадим определение матрицы линейного оператора:
Матрицей линейного оператора
| ^ |
| A |
: Xn → Ym в базисах e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm называется матрица размера m × n , у которой
1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства Xn :
| ^ |
| A |
e1,
| ^ |
| A |
e2, … ,
| ^ |
| A |
en в базисе пространства Ym ;
2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.
Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):
| A = (aik) = |
|
Замечания.
1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам).
2. Количество столбцов матрицы линейного оператора
| ^ |
| A |
: Xn → Ym равно размерности исходного пространства Xn , а количество строк — размерности пространства Ym .
3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел).
4. Если оператор
| ^ |
| A |
отображает пространство Xn в Xn , то оба базиса совпадают и матрица оператора
| ^ |
| A |
(квадратная) определяется заданием одного базиса.
