Образ и ранг линейного оператора

Пусть

^

A

:Xn → Ym — линейный оператор.

Образом линейного оператора

^

A

: Xn → Ym называется множество всех векторов y О Ym , представимых в виде y =

^

A

x , где x «пробегает» всю область определения оператора D М Xn (т.е. образ — это область значений оператора).

Образ оператора

^

A

будем обозначать Img

^

A

.

Таким образом

y О Img  ^ A ЬЮ $x О Xn:  ^ A x = y.

 

Теорема.

1. Образ линейного оператора

^

A

: Xn → Ym является линейным подпространством пространства Ym .

2. Размерность образа не превосходит размерности исходного пространства Xn .

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (Москва, Изд–во МЭИ, 2000), стр.63.

Рангом линейного оператора называется размерность его образа.

Ранг оператора будем обозначать Rg

^

A

= dim Img 

^

A

. Таким образом

 

Rg  ^ A ≤ n.