По матрице линейного оператора можно найти образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора
| ^ |
| A |
: Xn → Ym , заданного в некотором базисе матрицей A .
Для этого:
1. С помощью элементарных преобразований строк или с помощью компьютера преобразуем матрицу A к гауссову (редуцированному) виду и с ее помощью определяем базисные столбцы и ранг матрицы A .
2. Находим ранг и образ оператора.
По определению ранг оператора равен рангу его матрицы.
Базисные столбцы матрицы A являются координатными столбцами векторов, образующих базис в образе оператора
| ^ |
| A |
. С помощью базисных векторов записываем Img
| ^ |
| A |
и даем (если возможно) его геометрическую интерпретацию.
3. Находим дефект и ядро оператора.
Находим размерность ядра (дефект) оператора по формуле Def
| ^ |
| A |
= n − Rg
| ^ |
| A |
, где n — размерность пространства Xn .
Находим базис в ядре оператора, используя линейные соотношения между столбцами матрицы A и определение ядра:
Ker
| ^ |
| A |
= {«x:
| ^ |
| A |
x = θ} .
С помощью найденных базисных векторов записываем Ker
| ^ |
| A |
и даем (если возможно) его геометрическую интерпретацию.
