Пример 1. Исследуем совместность системы уравнений
|
|
| x1 + 2x2 + x3 = 3 |
| 3x1 − x2 + x3 = 2 |
| 2x1 + 4x2 + 2x3 = 6 |
|
|
|
Решение.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
|
|
| 1 |
2 |
1 |
|
2 |
| 3 |
−1 |
1 |
−1 |
| 2 |
4 |
2 |
1 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
3/7 |
|
1 |
| 0 |
1 |
2/7 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
. |
Очевидно, ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы (столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация 1–го и 2–го базисных столбцов): Rg Aрасш = Rg A = 2 . По теореме Кронекера–Капелли система совместна.
Пример 2. Исследуем совместность системы уравнений
|
|
| x2 + 2x3 − 3x4 = 1 |
| 2x1 − x2 + 3x3 + 4x5 = 1 |
| 2x1 + 5x3 − 3x4 + 4x5 = −1 |
|
|
|
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
|
|
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
|
1 |
| 2 |
−1 |
3 |
0 |
4 |
1 |
| 2 |
0 |
5 |
−3 |
4 |
−1 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
5/2 |
−3/2 |
2 |
|
−1/2 |
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
|
. |
Rg Aрасш = 3 , Rg A = 2 . Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу основной матрицы. По теореме Кронекера–Капелли система несовместна, т.е. решений не имеет.
Пример 3. Исследуем совместность системы уравнений
|
|
| x2 + 2x3 − 3x4 = 0 |
| 2x1 − x2 + 3x3 = 4 |
| 2x1 + 5x3 − 3x4 = 5 |
|
|
|
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
|
|
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
|
0 |
| 2 |
−1 |
3 |
0 |
4 |
| 2 |
0 |
5 |
−3 |
5 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
5/2 |
−3/2 |
|
2 |
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
. |
Очевидно, Rg A = 2 , Rg Aрасш = 3 , т.е. ранг расширенной матрицы системы не равен рангу основной матрицы. По теореме Кронекера–Капелли система несовместна.
