Пример 1. Найдем размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений
|
Решение.
1. Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
| A = |
|
~ |
|
= Aред . |
Очевидно, что 1–й и 2–ой столбцы матрицы Aред (и исходной матрицы A ) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому 1–й и 2–ой столбцы — базисные.
2. Так как количество линейно независимых столбцов матриц A и Aред равно двум, то
| Rg A = Rg Aред = 2. |
Следовательно, размерность пространства решений
| d = n − r = 3 − 2 = 1 |
и фундаментальная система решений состоит из одного ненулевого решения.
3. Неизвестные x1 и x2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестная x3 — свободная (или параметрическая).
Запишем систему уравнений с матрицей Aред (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы. Получаем:
|
Полагая x3 = 1 , получаем x1 = −3/2 , x2 = −2/7 , т.е. имеем решение системы
| X1 = |
|
. |
Проверка. Подставляем в исходную систему уравнений найденное решение X1 : x1 = −3/7 , x2 = −2/7 , x3 = 1 и убеждаемся, что все уравнения обратились в тождества.
Следовательно, решение X1 образует базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).
Ответ. Размерность пространства решений d = 1 . Фундаментальная система решений
| X1 = |
|
и общее решение однородной системы
| X = C · X1 = C · |
|
где C — произвольное число.
Пример 2. Найдем размерность d пространства решений, его базис (фундаментальную систему решений) и общее решение однородной системы линейных уравнений
|
Решение.
1. Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
| A = |
|
~ |
|
= Aред. |
Очевидно, что 1–й и 2–ой столбцы матрицы Aред (и исходной матрицы A ) линейно независимы, а остальные столбцы являются их линейными комбинациями. Поэтому 1–й и 2–й столбцы — базисные.
2. Так как количество линейно независимых столбцов матриц A и Aред равно двум, то
| Rg A = Rg Aред = 2. |
Следовательно, размерность пространства решений
| d = n − r = 5 − 2 = 3 |
и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.
3. Неизвестные x1 и x2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные x3 , x4 , x5 — свободными.
Запишем систему уравнений с матрицей Aред (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы. Получаем:
|
Для первого набора свободных неизвестных x3 = 1 , x4 = 0 , x5 = 0 получаем x1 = −5/2 , x2 = −2 , т.е. первое решение имеет вид: системы
| X1 = |
|
. |
Для второго набора свободных неизвестных x3 = 0 , x4 = 1 , x5 = 0 получаем x1 = 3/2 , x2 = 3 , т.е. второе решение имеет вид:
| X2 = |
|
. |
Для третьего набора свободных неизвестных x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 1 получаем x1 = −2 , x2 = 0 , т.е. третье решение системы имеет вид:
| X3 = |
|
. |
Проверка.
1. Подставляем в исходную систему уравнений найденные решения X1 , X2 , X3 и убеждаемся, что все уравнения обратились в тождества.
2. Проверяем, что решения X1 , X2 , X3 линейно независимы. Для этого вычисляем ранг матрицы, составленной из столбцов X1 , X2 , X3 и убеждаемся, что он равен 3.
Следовательно, решения X1 , X2 , X3 образуют базис в пространстве решений (фундаментальную систему решений).
Ответ. Размерность пространства решений d = 3 . Фундаментальная система решений
| X1 = |
|
, X2 = |
|
, X3 = |
|
и общее решение однородной системы
| X = C1 · X1 + C2 · X2 + C3 · X3 = C1 · |
|
+ C2 · |
|
+ C3 · |
|
, |
где C1 , C2 и C3 — произвольные числа.
