Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Однородные системы линейных уравнений

20 января 2005 | Рубрика: Книги

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
… … … … … … … … … … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0
(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O.

 

Система (1) всегда совместна, так как:

  1. имеет очевидное решение x10  =  x20  =   …   =  xn0 = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;
  2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Доказательство см. в книге Д.В. Беклемишева «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю ( det  A = 0 ).

Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение.

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется nr линейно независимых решений этой системы.

Cтолбцы фундаментальной системы решений обозначаются X1,  X2,   … ,  Xnr .

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cnr · Xnr, (2)

где X1,  X2,   … ,  Xnr — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C1,  C2,   … ,  Cnr — произвольные числа.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

  1. При любых значениях C1,  C2,   … ,  Cnr    X , определяемое формулой (2), является решением системы (1).
  2. Каково бы ни было решение X0 , существуют числа C10,   … ,  Cnr0 такие, что
    X0 = C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cnr0 · Xnr.

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь