Однородные системы линейных уравнений

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 … … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

и операторного уравнения

^ A x = θ

(2)

Система (1) всегда совместна, так как:

1. имеет очевидное решение x10  =  x20  =   …   =  xn0 = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;
2. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;
3. θ О Img 
   

   ^

   A

   , так как Img

   ^

   A

   — линейное пространство.

Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», стр. 77.

Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю ( det  A = 0 ).

Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение.

Так как система (1) эквивалентна операторному уравнению (2), то множество всех ее решений есть ядро оператора

^

A

. Пусть Ker

^

A

≠ θ , Rg

^

A

= r и x1,  x2,   … ,  xn − r — базис в ядре оператора.

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется базис ядра оператора

^

A

(точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker

^

A

).

Это определение можно сформулировать несколько иначе:

Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется n − r линейно независимых решений этой системы.

Будем обозначать координатные столбцы базисных векторов в Ker

^

A

   X1,  X2,   … ,  Xn − r .

Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:

Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой

X = C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r,

(3)

где X1,  X2,   … ,  Xn − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C1,  C2,   … ,  Cn − r — произвольные числа.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях C1,  C2,   … ,  Cn − r    X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).
2. Каково бы ни было решение X0 , существуют числа C10,   … ,  Cn − r0 такие, что
   

   X0 = C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.

 

Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.