Пример 1. Установим совместность и найдем общее решение неоднородной системы линейных уравнений
|
|
| x1 + 2x2 + x3 = 3 |
| 3x1 − x2 + x3 = 2 |
| 2x1 + 4x2 + 2x3 = 6 |
|
|
|
Решение.
1. Исследуем совместность системы, для чего запишем ее расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
| Aрасш = |
|
| 1 |
2 |
1 |
|
2 |
| 3 |
−1 |
1 |
−1 |
| 2 |
4 |
2 |
1 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
3/7 |
|
1 |
| 0 |
1 |
2/7 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
. |
Очевидно, ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы (столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация 1–го и 2–го базисных столбцов): Rg A>расш = Rg A = 2. По теореме Кронекера–Капелли система совместна.
2. Найдем фундаментальную систему и общее решение соответствующей однородной системы
|
|
| x1 + 2x2 + x3 = 0 |
| 3x1 − x2 + x3 = 0 |
| 2x1 + 4x2 + 2x3 = 0 |
|
|
|
Запишем матрицу однородной системы и приведем ее к редуцированному (гауссову) виду. Получим:
Поскольку Rg A = Rg Aред = 2 , размерность пространства решений
d = n − r = 3 − 2 = 1
и фундаментальная система решений состоит из одного решения.
Неизвестные x1 и x2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестная x3 — свободная (или параметрическая).
Запишем однородную систему уравнений с редуцированной матрицей, воспользовавшись результатами п. 1, и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы. Получим:
Полагая x3 = 1 , получаем x1 = −3/2 , x2 = −2/7 , т.е. имеем решение системы
Сделаем проверку, подставив это решение в однородную систему уравнений.
Общее решение однородной системы имеет вид:
где C1 — произвольное число.
3. Найдем какое–либо частное решение неоднородной системы. Очевидно, что столбец свободных членов B расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A ( A1 и A2 ):
Добавляя к этому выражению 3–й столбец с нулевым коэффициентом, получим
|
B = 1 · A1 + 1 · A2 + 0 · A3. |
(1) |
Если сравнить это выражение с исходной неоднородной системой, записанной в виде
| A1 · x1 + A2 · x2 + A3x3 = B, |
то станет ясно, что коэффициенты в (1) образуют частное решение неоднородной системы: x1 = 1 , x2 = 1 и x3 = 0 , т.е.
Сделаем проверку, подставив Xч.н. в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы имеет вид:
где C1 — произвольное число.
Пример 2. Установим совместность и найдем общее решение неоднородной системы линейных уравнений
|
|
| x2 + 2x3 − 3x4 = −1 |
| 2x1 − x2 + 3x3 + 4x5 = 5 |
| 2x1 + 5x3 − 3x4 + 4x5 = 4 |
|
|
|
Решение.
1. Исследуем совместность системы, для чего запишем ее расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
| Aрасш = |
|
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
|
−1 |
| 2 |
−1 |
3 |
0 |
4 |
5 |
| 2 |
0 |
5 |
−3 |
4 |
4 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
5/2 |
−3/2 |
2 |
|
2 |
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
−1 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
. |
Очевидно, ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы (столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация 1–го и 2–го базисных столбцов): Rg Aрасш = Rg A = 2 . По теореме Кронекера–Капелли система совместна.
2. Найдем фундаментальную систему и общее решение соответствующей однородной системы
|
|
| x2 + 2x3 − 3x4 = 0 |
| 2x1 − x2 + 3x3 + 4x5 = 0 |
| 2x1 + 5x3 − 3x4 + 4x5 = 0 |
|
|
|
Запишем матрицу однородной системы и приведем ее к редуцированному (гауссову) виду. Получим:
| A = |
|
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
| 2 |
−1 |
3 |
0 |
4 |
| 2 |
0 |
5 |
−3 |
4 |
|
|
~ |
|
| 1 |
0 |
5/2 |
−3/2 |
2 |
| 0 |
1 |
2 |
−3 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
. |
Поскольку Rg A = Rg Aред = 2 , размерность пространства решений
d = n − r = 5 − 2 = 3
и фундаментальная система решений состоит из трех линейно независимых решений.
Неизвестные x1 и x2 , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные x3 , x4 , x5 — свободными.
Запишем систему уравнений с матрицей Aред (эта система эквивалентна исходной) и перенесем свободные неизвестные в правые части уравнений системы. Получаем:
|
|
| x1 = −5/2x3 + 3/2x4 − 2x5 |
| x2 = −2x3 + 3x4 |
|
|
|
Для первого набора свободных неизвестных x3 = 1 , x4 = 0 , x5 = 0 получаем x1 = −5/2 , x2 = −2 , т.е. первое решение системы имеет вид:
Для второго набора свободных неизвестных x3 = 0 , x4 = 1 , x5 = 0 получаем x1 = 3/2 , x2 = 3 , т.е. второе решение имеет вид:
Для третьего набора свободных неизвестных x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 1 получаем x1 = −2 , x2 = 0 , т.е. третье решение системы имеет вид:
Сделаем проверку, подставив эти решения в однородную систему уравнений.
3. Найдем какое–либо частное решение неоднородной системы. Очевидно, что столбец свободных членов B расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A ( A1 и A2 ):
B = 2 · A1 − 1 · A2.
Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим
|
B = 2 · A1 − 1 · A2 + 0 · A3 + 0 · A4 + 0 · A5. |
(2) |
Если сравнить это выражение с исходной неоднородной системой, записанной в виде
A1 · x1 + A2 · x2 + A3 · x3 + A4 · x4 + A5 · x5 = B,
то станет ясно, что коэффициенты в (2) образуют частное решение неоднородной системы: x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 0 т.е.
Сделаем проверку, подставив Xч.н. в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы
| Xо.н. = |
|
|
|
+ C1 · |
|
|
|
+ C2 · |
|
|
|
+ C3 · |
|
|
|
, |
где C1 , C2 и C3 — произвольные числа.
