Рассмотрим неоднородную систему уравнений, записанную в матричной форме:
| A · X = B | (1) |
и соответствующую однородную систему
| A · X = O | (2) |
Свойства решений неоднородной системы уравнений:
- Пусть X1 и X2 — какие–нибудь решения неоднородной системы (1). Тогда X1 − X2 — решение однородной системы (2).
- Пусть Xн. — какое–нибудь решение неоднородной системы (1), а X0 — любое решение однородной системы (2). Тогда Xн. + X0 также является решением неоднородной системы (1).
Из этих утверждений следует
Теорема о структуре общего решения неоднородной системы уравнений:
Любое решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой
| Xо.н. = Xч.н. + C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r, | (3) |
где Xч.н. — какое–нибудь частное решение неоднородной системы (1), X1, X2, … , Xn − r — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (2) и C1, C2, … , Cn − r — некоторые числа.
Свойства общего решения неоднородной системы уравнений:
- При любых числах C1, C2, … , Cn − r X, определяемое формулой (3), является решением системы (1).
- Каково бы ни было решение Xн.0 , существуют числа C10, … , Cn − r0 такие, что
Xн.0 = Xн. + C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.
