Неоднородные системы линейных уравнений

Рассмотрим неоднородную систему уравнений, записанную в матричной форме:

A · X = B

(1)

и соответствующую однородную систему

A · X = O

(2)

Свойства решений неоднородной системы уравнений:

1. Пусть X1 и X2 — какие–нибудь решения неоднородной системы (1). Тогда X1 − X2 — решение однородной системы (2).
2. Пусть Xн. — какое–нибудь решение неоднородной системы (1), а X0 — любое решение однородной системы (2). Тогда Xн. + X0 также является решением неоднородной системы (1).

Из этих утверждений следует

Теорема о структуре общего решения неоднородной системы уравнений:

Любое решение неоднородной системы линейных уравнений определяется формулой

Xо.н. = Xч.н. + C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r,

(3)

где Xч.н. — какое–либо частное решение неоднородной системы (1), X1,  X2,   … ,  Xn − r — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (2) и C1,  C2,   … ,  Cn − r — некоторые числа.

Свойства общего решения неоднородной системы уравнений:

1. При любых числах C1,  C2,   … ,  Cn − r    X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).

2. Каково бы ни было решение Xн.0 , существуют числа C10,   … ,  Cn − r0 такие, что

   Xн.0 = Xн. + C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.