Свойства собственных векторов

Пусть

^

A

: Xn → Xn — линейный оператор.

 

1. Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.
2. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
3. Если линейный оператор
   

   ^

   A

   : Xn → Xn имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в Xn . Такой базис называется собственным базисом линейного оператора

   ^

   A

   .

4. Матрица A линейного оператора
   

   ^

   A

   : Xn → Xn в некотором базисе x1, x2,  … , xn имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные значения оператора λ1, λ2,  … , λn .

Доказательства всех свойств см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».