Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Нахождение собственных значений и собственных векторов по матрице оператора

22 января 2005 | Рубрика: Книги

Теорема. Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора

^
A

XnXn тогда и только тогда, когда λ удовлетворяет уравнению

det  (A − λE) = 0, (1)

где A — квадратная матрица n –го порядка — матрица оператора

^
A

в некотором базисе, а E — единичная матрица того же порядка, что и A .

Доказательство. Пусть вектор x — собственный вектор оператора

^
A

, соответствующий собственному значению λ , т.е. по определению

 

^
A

x = λx  Ю  

^
A

x = λ

^
E

x  Ю  (

^
A

− λ

^
E

x = θ.

Следовательно, чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора

^
A

, нужно решить однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными (A − λE)X = O .

Так как по определению собственного вектора x ≠ θ , то нас интересуют лишь нетривиальные решения этой системы уравнений. Необходимым и достаточным условием нетривиальной совместности однородной системы n уравнений с n неизвестными является условие det (A − λE) = 0 , что и требовалось доказать.

Уравнение (1) называется характеристическим уравнением оператора

^
A

.

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2023
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь