Нахождение собственных значений и собственных векторов по матрице оператора

Теорема. Вещественное число λ является собственным значением линейного оператора

^

A

: Xn → Xn тогда и только тогда, когда λ удовлетворяет уравнению

det  (A − λE) = 0,

(1)

где A — квадратная матрица n –го порядка — матрица оператора

^

A

в некотором базисе, а E — единичная матрица того же порядка, что и A .

Доказательство. Пусть вектор x — собственный вектор оператора

^

A

, соответствующий собственному значению λ , т.е. по определению

 

^ A x = λx  Ю   ^ A x = λ ^ E x  Ю  ( ^ A − λ ^ E ) x = θ.

Следовательно, чтобы найти собственные значения и собственные векторы оператора

^

A

, нужно решить однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными (A − λE)X = O .

Так как по определению собственного вектора x ≠ θ , то нас интересуют лишь нетривиальные решения этой системы уравнений. Необходимым и достаточным условием нетривиальной совместности однородной системы n уравнений с n неизвестными является условие det (A − λE) = 0 , что и требовалось доказать.

Уравнение (1) называется характеристическим уравнением оператора

^

A

.