Взаимно однозначные отображения. Обратный оператор, условия существования

Пусть

^

A

: Xn → Xn — некоторый оператор (не обязательно линейный), D М Xn — область определения и E М Xn — область значений этого оператора.

Оператор

^

A

:Xn → Xn называется взаимно однозначным, если из равенства образов следует равенство прообразов:

 

«x1, x2 О D   ^ A x1 = ^ A x2  ЬЮ  x1 = x2.

Пусть теперь

^

A

:Xn → Xn — линейный оператор. Справедлива следующая

Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор

^

A

:Xn → Xn осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Ker

^

A

= θ .

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Следствие. Для того, чтобы линейный оператор

^

A

:Xn → Xn осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Rg

^

A

= n , где n — размерность пространства.

Рассмотрим оператор

^

A

: Xn → Xn (не обязательно линейный), осуществляющий взаимно однозначное отображение.

Оператор

^

B

: Xn → Xn называется обратным оператору

^

A

:D М Xn → Xn , если «x О D :  

^

B

(

^

A

x) = x , т.е.

 

^ B ° ^ A = ^ E ,

где

^

E

— тождественный оператор. Обозначая обратный оператор

^

A

− 1 , получаем определение обратного оператора в виде

 

^ A − 1° ^ A = ^ E .

Теорема 2. Для того, чтобы оператор

^

A

: D М Xn → E М Xn имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он осуществлял взаимно однозначное отображение.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».