Пусть линейный оператор
| ^ |
| A |
: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .
Теорема. Преобразование матрицы оператора
| ^ |
| A |
при переходе от «старого» базиса e к «новому» базису f определяется формулой:
|
(1) |
Доказательство.
Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =
| ^ |
| A |
x . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в «старом» базисе e ; Xf и Yf — в «новом» базисе f .
Тогда
|
и
|
Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем
|
Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.
