Говорят, что в линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой упорядоченной паре векторов x, y О X ставится в соответствие действительное число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое символом (x,y) . Причем « x, y, z О X и «α О R выполняются следующие аксиомы:
- (y, x) = (x, y) ;
- (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
- (αx, y) = α(x, y) ;
- (x, x)>0 «x ≠ θ .
Замечание. Из аксиомы 3 следует, что (θ, θ) = 0 , так как
(θ, θ) = (0 · θ, θ) = 0 · (θ,θ) = 0.
Отсюда и из аксиомы 4 следует, что (x,x) = 0 тогда и только тогда, когда x = θ .
Линейное пространство, в котором определена операция скалярного умножения, называется евклидовым и обычно обозначается E .
Следствия из аксиом.
«x, y, z О E и «α О R
- (x, y + z) = (x, y) + (x, z) ;
- (x, αy) = α (x, y) ;
- (θ, x) = 0 .
Нормой (длиной) вектора x О E называется число, равное √
| (x, x) |
и обозначаемое || x || .
Из аксиом скалярного произведения следуют свойства нормы:
- || x || >0 «x ≠ θ ;
- || x || = 0 ЬЮ x = θ .
- || x + y || ≤ || x || + || y || .
Вектор, норма которого равна единице, называется единичным (нормированным) вектором, или ортом.
Расстоянием между векторами x О E и y О E называется норма их разности, т.е. || x − y || .
Теорема. Для любых векторов x, y О E справедливо неравенство Коши–Буняковского:
|
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Углом между ненулевыми векторами x О E и y О E называется угол j такой, что
|
Замечание. Из неравенства Коши–Буняковского следует, что наше определение является корректным, так как |cosj| ≤ 1 .
Два вектора x О E и y О E называются ортогональными (взаимно перпендикулярными), если cosj = 0 .
Условие ортогональности векторов.
|
Замечание. Нулевой вектор (и только он) ортогонален любому вектору пространства.
Система векторов e1, e2, … , en О E называется ортогональной, если (ei, ej) = 0 «i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны.
Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
