Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Ортогональный и ортонормированный базисы. Метод ортогонализации Грама–Шмидта

22 января 2005 | Рубрика: Книги

Базис e1e2,  … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (eiej) = 0    «ij , т.е. все векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта).

Пусть f1f2,  … , fn — произвольный базис в En . Построим ортогональный базис e1e2,  … , en следующим образом.

Положим

e1 = f1 ,

e2 = f2 + αe1 .

Найдем α из условия ортогональности:

(e1e2) = 0  Ю  (f2e1) + α (e1e1) = 0.

Отсюда

α = −  

(f2e1)
(e1e1)

.

 

Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e1e2,  … , ek − 1 . Тогда вектор ek ищем в виде

ek = fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1.
(1)

Из условий ортогональности вектора ek и векторов e1e2,  … , ek − 1

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1e1) = 0,

 

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1e2) = 0,

 

… … … … … … … … … … … … …  ,

 

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1ek − 1) = 0

получаем

(fke1) + α1 (e1e1) = 0,

 

(fke2) + α2 (e2e2) = 0,

 

… … … … … … …  ,

 

(fkek − 1) + αk − 1 (ek − 1ek − 1) = 0.

Отсюда

α1 = −  

(fke1)
(e1e1)

,  α2 = −  

(fke2)
(e2e2)

,   … ,  αk − 1 = −  

(fkek − 1)
(ek − 1ek − 1)

.

Покажем, что построенный таким образом вектор ek ненулевой. Согласно (1) ek есть линейная комбинация векторов e1,  … , ek − 1 и fk . В свою очередь, ek − 1 есть линейная комбинация векторов e1,  … , ek − 2 и fk − 1 , и т.д. Таким образом, ek есть линейная комбинация векторов f1f2,  … , fk :

ek = β1f1 + β2f2 + … + βk − 1fk − 1 + fk.

Так как система векторов f1f2,  … , fk линейно независима, а коэффициент при fk = 1 ≠ 0 , то ek ≠ θ .

Продолжая этот процесс до k = n , мы построим ортогональную систему из n ненулевых векторов e1e2,  … , en . В n –мерном евклидовом пространстве e1e2,  … , en — ортогональный базис. Орты векторов e1e2,  … , en образуют ортонормированный базис

˜
e

k =

ek
|| ek ||

    «k = 1,2, … ,n

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь