Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе

Пусть e1, e2,  … , en — ортогональный базис в n –мерном евклидовом пространстве En и x — произвольный вектор в En . Тогда

x = α1 e1 + α2 e2 + … + αn en,

где α1, α2,  … , αn — координаты вектора x в базисе e1, e2,  … , en . Умножив это равенство скалярно на ei ( i = 1,2, … ,n ), получим

(ei, x) = α1 (ei, e1) + α2 (ei, e2) + … + αi (ei, ei) + … + αn (ei, en).

Так как (ei, ej) = 0 «i ≠ j и (ei, ei) = || ei || 2 , то получаем формулы для координат вектора в ортогональном базисе (формулы Эйлера–Фурье):

αi = (ei, x) || ei || 2 ,    i = 1,2, … ,n.

В ортонормированном базисе ( || ei || = 1 ):

αi = (ei, x),    i = 1,2, … ,n.

Теорема 1. Скалярное произведение двух векторов евклидова пространства в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов.

Справедливо также обратное утверждение.

Теорема 2. Если в некотором базисе скалярное произведение любых двух векторов евклидова пространства равно сумме попарных произведений их координат в этом базисе, то этот базис ортонормированный.

Доказательства этих теорем см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Замечание.

Если

X = x1 x2 … xn   и  Y = y1 y2 … yn

— координатные столбцы векторов x и y в ортонормированном базисе e1, e2,  … , en , то их скалярное произведение в этом базисе можно записать в матричной форме:

(x,y) = x1 y1 + x2 y2 + … xn yn = (x1 x2  …  xn) · y1 y2 … yn = XT · Y,

где XT — матрица–строка, получаемая из столбца X с помощью операции транспонирования.