Пусть En — евклидово пространство с ортонормированным базисом e1, e2, … , en и
| ^ |
| A |
: En → En — линейный оператор.
Линейный оператор
| ^ |
| A |
* называется сопряженным линейному оператору
| ^ |
| A |
, если «x, y О En
|
Теорема 1. У любого линейного оператора
| ^ |
| A |
: En → En в евклидовом пространстве существует единственный сопряженный ему оператор, причем матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице самого оператора (в том же базисе).
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Свойства сопряженного оператора.
^ E * =
^ E ;
- (
^ A +
^ B )* =
^ A * +
^ B * ;
- (α
^ A )* = α
^ A * ;
- (
^ A °
^ B )* =
^ B *°
^ A * ;
Оператор
| ^ |
| A |
называется самосопряженным, если «x, y О En
(
| ^ |
| A |
x, y) = (x,
| ^ |
| A |
y),
т.е.
| ^ |
| A |
* =
| ^ |
| A |
.
Теорема 2. Матрица оператора
| ^ |
| A |
: En → En совпадает со своей транспонированной (A = AT) (в ортонормированном базисе) тогда и только тогда, когда оператор
| ^ |
| A |
— самосопряженный.
Доказательство следует из определения самосопряженного оператора и теоремы 1.
Напомним, что матрица A, совпадающая со своей транспонированной, называется симметричной.
