Пусть
| ^ |
| A |
: En → En — самосопряженный оператор.
Теорема 1. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Теорема 2. Пусть
| ^ |
| A |
: En → En — самосопряженный оператор. В евклидовом пространстве En существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора
| ^ |
| A |
(собственный ортонормированный базис).
Схема построения собственного ортонормированного базиса.
1. Выбираем некоторый (лучше ортонормированный) базис и находим в нем матрицу оператора A (если она не была задана).
2. Находим корни характеристического уравнения det (A − λE) = 0 (все они вещественны!).
3. Для каждого корня λi кратности s находим s линейно независимых решений однородной системы уравнений (A − λiE) X = O (базис ядра оператора
| ^ |
| A |
− λi
| ^ |
| E |
).
4. Из всех найденных векторов (их должно оказаться ровно n ) составляем базис, применяем к нему процесс ортогонализации Грама–Шмидта и нормируем.
