Оператор
| ^ |
| A |
называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, т.е.
(
| ^ |
| A |
x,
| ^ |
| A |
y) = (x,y).
Из определения следует, что ортогональные операторы сохраняют нормы векторов и углы между ними:
||
| ^ |
| A |
x || = √
(
x,
x) |
= √
| (x,x) |
= || x ||
и
cosj =
(
x,
y) |
||||
||
x || · ||
y || |
=
| (x,y) |
| || x || · || y || |
.
Справедливы утверждения:
1. Оператор
| ^ |
| A |
ортогонален тогда и только тогда, когда он любой ортонормированный базис переводит в ортонормированный.
2. Матрица A является матрицей ортогонального оператора тогда и только тогда, когда она удовлетворяет равенству
A · AT = AT · A = E,
где E — единичная матрица. Такие матрицы A называются ортогональными.
Из утверждения 2 следуют свойства ортогональных матриц:
1. Сумма квадратов элементов любой столбца (или строки) ортогональной матрицы равна 1.
2. Сумма попарных произведений соответствующих элементов разных столбцов (или строк) ортогональной матрицы равна 0.
Геометрический смысл ортогонального оператора при n = 2.
Рассмотрим множество геометрических векторов на плоскости V2 . Пусть матрица ортогонального оператора
| ^ |
| A |
: V2 → V2 в ортонормированном базисе
| → |
| i |
,
| → |
| j |
имеет вид
| A = |
|
Тогда
a112 + a212 = 1, a122 + a222 = 1, a11 · a12 + a21 · a22 = 0.
Можно показать, что матрица, элементы которой удовлетворяют этим соотношениям, должна иметь вид
| A = |
|
или | A‘ = |
|
Но матрица A — это матрица оператора поворота V2 на угол j , а матрицу A‘ можно представить в виде
|
· |
|
где второй сомножитель — это матрица зеркального отражения V2 относительно оси OX .
Вывод. Ортогональный оператор в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V2 на угол j , либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.
