Билинейные формы

Пусть X — линейное пространство.

Функция b(x,y) , осуществляющая отображение X × X → R , называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, т.е. « x, y, z О X и « α, β О R

b(α x + β y, z) = α b(x, z) + β b(y, z);

 

b(x, α y + β z) = α b(x, y) + β b(x, z).

Билинейная форма называется симметричной, если « x, y О X    b(x, y) = b(y, x) .

Пусть e1, e2,  … , en — базис в Xn . Тогда « x,y О Xn

x  =   n xi ei ∑ i = 1 ,         y   =   n yj ej ∑ j = 1  .

Обозначим bij = b(ei, ej) . Воспользовавшись линейностью b(x, y) по обоим аргументам, получим:

b(x, y) = b n xi ei ∑ i = 1  , n yj ej ∑ j = 1   =   n xi yj b(ei, ej) ∑ i,j = 1   =   n bij xi yj ∑ i, j = 1  .

Квадратная матрица n –го порядка B = (bij)  называется  матрицей билинейной формы.

Обозначив X и Y координатные столбцы векторов x и y , билинейную форму можно записать в виде:

b(x,y) = XT · B · Y .

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в Xn базисы e1, e2,  … , en и f1, f2,  … , fn связаны матрицей перехода C = (cik) по формуле

fi   =   n cikek ∑ k = 1  .

Обозначим Be и Bf матрицы билинейной формы b(x,y) в базисах e1, e2,  … , en и f1, f2,  … , fn соответственно. Тогда

Bf = CT · Be · C.

Справедливы следующие утверждения.

• Матрица симметричной билинейной формы симметрична в любом базисе.
• Если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то билинейная форма симметрична.