Примеры

Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы

F = 2 x12 − 4 x1 x2 + x22 + 2 x1 x3 − x32.

Решение.

1. Запишем квадратичную форму F в виде:

F = 2 x12 − 2 x1 x2 − 2 x2 x1 + x22 + x1 x3 + x3 x1 − x32.

2. Матрица этой квадратичной формы есть

A =

2 −2 1 −2 1 0 1 0 −1

.

Пример 2. Дана квадратичная форма

F = x12 − √

3

 x1 x2 + 2 x22.

Найдем матрицу A квадратичной формы F , собственный ортонормированный базис оператора

^

A

и вид квадратичной формы в этом базисе.

Решение.

1. Матрица квадратичной формы

A =

1 − √ 3 /2 − √ 3 /2 2

симметрична и, следовательно, в некотором ортонормированном базисе e1, e2 определяет самосопряженный оператор

^

A

.

2. Находим собственные значения оператора

^

A

. Для этого решаем характеристическое уравнение

 

1 − λ − √ 3 /2 − √ 3 /2 2 − λ

= 0

Ю  λ2 − 3λ + 5/4 = 0.

Получаем λ1 = 5/2 , λ2 = 1/2 .

3. Находим собственные векторы оператора

^

A

.

Для λ1 = 5/2 решаем однородную систему уравнений

−3/2 −√ 3 /2 −√ 3 /2 −1/2 · X = O

Отсюда h1 = {1,  −√

3

} — собственный вектор оператора

^

A

, соответствующий собственному значению λ1 = 5/2 .

Для λ1 = 1/2 решаем однородную систему уравнений

1/2 −√ 3 /2 −√ 3 /2 3/2 · X = O

Отсюда h2 = {√

3

, 1} — собственный вектор оператора

^

A

, соответствующий собственному значению λ1 = 1/2 .

Векторы h1, h2 ортогональны, так как (h1, h2) = 0 . Нормируя эти векторы, получаем собственный ортонормированный базис оператора

^

A

:

 

f1 = 1 2  {1,  −√ 3 },  f2 = 1 2  {√ 3 , 1}.

 

4. В собственном ортонормированном базисе f1, f2 матрица квадратичной формы диагональна, причем на диагонали расположены собственные значения, соответствующие базисным векторам:

5/2 0 0 1/2 .

 

В собственном ортонормированном базисе f1, f2 квадратичная форма имеет канонический вид:

5 2  (x1‘)2 + 1 2  (x2‘)2.

 

5. По определению находим матрицу перехода к новому базису f1, f2 :

C = 1/2 √ 3 /2 −√ 3 /2 1/2

Отметим, что C — матрица поворота на угол j = −π/3 .