Квадратичной формой F , зависящей от n переменных x1,x2, … ,xn называется функция вида
F = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + … + ann xn2 =
, |
где aij = aji (i,j = 1, … ,n) — вещественные числа.
Симметричная матрица A = (aij) (i,j = 1, … ,n) называется матрицей квадратичной формы F .
Если переменные x1, x2, … , xn интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e1, e2, … , en n –мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора
| ^ |
| A |
в этом базисе. Тогда
i,j = 1 n∑ aij xi xj = (
x, x). |
Действительно, пусть x = i = 1 n∑ xi ei и его образ y =
| ^ |
| A |
x . Тогда i–я координата образа yi = (
| ^ |
| A |
x)i = j = 1 n∑ aijxj . Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим
(
x, x) = i = 1 n∑ xi yi = i,j = 1 n∑ aij xi xj = F |
Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса.
Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид
|
(1) |
называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы.
У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f1, f2, … , fn , соответствующих собственным значениям λ1, λ2, … , λn (среди которых могут быть равные). В этом базисе f1, f2, … , fn квадратичная форма относительно новых переменных x1‘, x2‘, … , xn‘ имеет канонический вид.
Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно.
Теорема. Квадратичную форму F = i,j = 1 n∑ aij xi xj можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Замечание. Ортогональное преобразование в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V2 на угол j , либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.
Если Rg A = n , квадратичная форма называется невырожденной.
Если Rg A<n , квадратичная форма называется вырожденной.
Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен
а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы;
б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.
Закон инерции квадратичных форм.
Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к каноническому виду (т.е. от выбора собственного базиса).
