Кривая 2–го порядка в декартовой прямоугольной системе координат XOY определяется уравнением
|
(1) |
где aik, bi, > (i, k = 1, 2) и c — вещественные коэффициенты, причем
a112 + a122 + a222 ≠ 0 .
Требуется перейти к такой системе координат, в которой уравнение кривой (1) имеет канонический вид.
План решения
1. Рассмотрим соответствующую квадратичную форму
F = a11 x2 + 2 a12 x y + a22y2.
Ее матрица
| A = |
|
симметрична и, следовательно, в некотором ортонормированном базисе определяет самосопряженный оператор
| ^ |
| A |
. У самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f1, f2 , соответствующих собственным значениям λ1, λ2 . В этом базисе квадратичная форма относительно новых переменных x‘, y‘ имеет канонический вид
F = λ1 x‘2 + λ2 y‘2.
2. Для нахождения собственных значений λ1 и λ2 (они могут быть равными) составляем и решаем характеристическое уравнение
|
= 0 . |
3. Находим собственные векторы h1, h2 оператора
| ^ |
| A |
, решая для каждого λ1, λ2 однородную систему уравнений
| (A − λ1,2) · X = O. |
4. Строим из векторов h1, h2 собственный ортонормированный базис f1, f2 оператора
| ^ |
| A |
.
В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид
λ1 x‘2 + λ2 y‘2.
5. Связь координат x, y и x‘, y‘ определяется формулой
|
(2) |
где C — матрица ортогонального преобразования, столбцы которой суть координатные столбцы собственных ортонормированных векторов f1, f2 . (Напомним, что в случае плоскости
| ^ |
| C |
— это либо поворот на угол j , либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.)
По формулам (2) выразим линейные члены 2 b1 x + 2 b2 y в уравнении (1) через x‘, y‘ . В результате уравнение кривой в новой системе координат X‘OY‘ принимает вид:
λ1 x‘2 + λ2 y‘2 + 2 b‘1 x» + 2 b‘2 y‘ + c = 0.
6. Выделяем полные квадраты по каждой переменной и с помощью параллельного переноса осей координат системы X‘OY‘ переходим к системе X»O‘Y» , в которой уравнение кривой имеет канонический вид.
Замечание. Аналогично приводится к каноническому виду уравнение поверхности 2–го порядка
a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2 a12 x y + 2 a13 x z + 2 a23 y z + 2 b1 x + 2 b2 y + 2 b3 z + c = 0.
