Число a называется пределом последовательности x1, x2 , … , x n, … , если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех xn с номерами n>N справедливо неравенство |xn − a| < ε. В этом случае пишут
xn = a или xn → a (при n → ∞) . |
С помощью логических символов всеобщности « и существования $ определение предела последовательности записывается следующим образом:
a =
xn ЬЮ «ε > 0 $N : «n>N |xn − a| < ε . |
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
| «M > 0 $N : «n > N |xn | > M. |
B этом случае пишут
| lim |
| n → ∞ |
xn = ∞ и говорят, что предел последовательности бесконечен.
Если «M > 0 $N : «n > N xn > M, то пишут
| lim |
| n → ∞ |
xn = +∞ и говорят, что последовательность имеет предел, равный +∞.
Если «M < 0 $N : «n > N xn < M, то пишут
| lim |
| n → ∞ |
xn = −∞ и говорят, что последовательность имеет предел, равный −∞.
Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.
Теорема 1 (о единственности предела последовательности). Если предел последовательности существует, то он единственный.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 14.
Теорема 2 (об ограниченности сходящейся последовательности). Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 16.
Обратное утверждение неверно. Например, последовательнось { (−1)n-1} = { 1, −1, 1, −1, … } ограничена, но предела не имеет.
Теорема 3 (Вейерштрасс).
- Всякая возрастающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, или равный + ∞, если она неограничена сверху.
- Всякая убывающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена снизу, или равный −∞, если она неограничена снизу.
Доказательство приведено в книге Л.Д. Кудрявцева “Краткий курс математического анализа”. Т. 1 М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр. 81.
Сходящаяся последовательность {αn} называется бесконечно малой, если
αn = 0. |
Теорема 4. Если последовательности {α n} и { βn } бесконечно малые, а {cn} — ограниченная последовательность, то последовательности
| {αn ± βn}, {αn · βn}, {αn · cn} |
являются бесконечно малыми.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 17.
Теорема 5. Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел, равный a, необходимо и достаточно, чтобы «n выполнялось равенство xn = a + αn , где { αn } — бесконечно малая последовательность.
Пределы суммы, произведения и частного двух последовательностей
Теорема 6. Если существуют
| lim |
| n → ∞ |
xn и
| lim |
| n → ∞ |
yn , то для любого числа C справедливы следующие утверждения:
1.
| lim |
| n → ∞ |
C = C;
2.
| lim |
| n → ∞ |
C · xn = C ·
| lim |
| n → ∞ |
xn ;
3.
| lim |
| n → ∞ |
(xn ± yn) =
| lim |
| n → ∞ |
xn ±
| lim |
| n → ∞ |
yn ;
4.
| lim |
| n → ∞ |
(xn · yn) =
| lim |
| n → ∞ |
xn ·
| lim |
| n → ∞ |
yn ;
5.
| lim |
| n → ∞ |
| yn |
| xn |
=
yn |
||
xn |
, ecли начиная с некоторого номера n xn ≠ 0 и
| lim |
| n → ∞ |
xn ≠ 0.
Доказательство этих утверждений приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 19–22.
Последовательности {xn} и {yn } называются эквивалентными (асимптотически равными), если
= 1. |
Эквивалентность последовательностей {xn} и {yn} обозначается так: xn ~ yn.
Теорема 7. Если xn ~ an, yn ~ bn и существует конечный или бесконечный
| lim |
| n → ∞ |
| an |
| bn |
, то существует и
| lim |
| n → ∞ |
| xn |
| yn |
, причем
| lim |
| n → ∞ |
| xn |
| yn |
=
| lim |
| n → ∞ |
| an |
| bn |
.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 23.
