Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Предел последовательности

13 сентября 2016 | Рубрика: Книги

Число a называется пределом последовательности x1, x2 , … , x n, … , если для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех xn с номерами n>N справедливо неравенство |xna| < ε. В этом случае пишут

lim
n → ∞

xn = a   или   xna   (при n → ∞) .

 

С помощью логических символов всеобщности « и существования $ определение предела последовательности записывается следующим образом:

a =

lim
n → ∞

xn ЬЮ «ε > 0 $N : «n>N    |xna| < ε .

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

«M > 0   $N : «n > N     |xn | > M.

 

B этом случае пишут  

lim
n → ∞

xn   =   ∞   и говорят, что предел последовательности бесконечен.

Если   «M > 0   $N : «n > N     xn > M,   то пишут

lim
n → ∞

xn   =   +∞   и говорят, что последовательность имеет предел, равный +∞.

Если   «M < 0   $N : «n > N     xn < M,   то пишут

lim
n → ∞

xn   =   −∞   и говорят, что последовательность имеет предел, равный −∞.

Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

Теорема 1 (о единственности предела последовательности). Если предел последовательности существует, то он единственный.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 14.

Теорема 2 (об ограниченности сходящейся последовательности). Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 16.

Обратное утверждение неверно. Например, последовательнось { (−1)n-1} = { 1, −1, 1, −1, … } ограничена, но предела не имеет.

Теорема 3 (Вейерштрасс).

  • Всякая возрастающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, или равный + ∞, если она неограничена сверху.
  • Всякая убывающая последовательность имеет предел: конечный, если она ограничена снизу, или равный −∞, если она неограничена снизу.

Доказательство приведено в книге Л.Д. Кудрявцева “Краткий курс математического анализа”. Т. 1 М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр. 81.

Сходящаяся последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

lim
n → ∞

αn = 0.

 

Теорема 4. Если последовательности {α n} и { βn } бесконечно малые,   а {cn} — ограниченная последовательность, то последовательности

{αn ± βn},     {αn · βn},     {αn · cn}

являются бесконечно малыми.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 17.

Теорема 5. Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел, равный a, необходимо и достаточно, чтобы «n выполнялось равенство   xn = a + αn ,   где { αn } — бесконечно малая последовательность.

Пределы суммы, произведения и частного двух последовательностей

Теорема 6. Если существуют

lim
n → ∞

xn и

lim
n → ∞

yn , то для любого числа C справедливы следующие утверждения:
1.

lim
n → ∞

C = C;
2.

lim
n → ∞

C · xn = C ·

lim
n → ∞

xn ;
3.

lim
n → ∞

(xn ± yn) =

lim
n → ∞

xn ±

lim
n → ∞

yn ;
4.

lim
n → ∞

(xn · yn) =

lim
n → ∞

xn ·

lim
n → ∞

yn ;
5.

lim
n → ∞
yn
xn

  =  

lim
n → ∞

yn

lim
n → ∞

xn

 , ecли начиная с некоторого номера n   xn ≠ 0   и

lim
n → ∞

xn ≠ 0.

Доказательство этих утверждений приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 19–22.

Последовательности {xn} и {yn } называются эквивалентными (асимптотически равными), если

lim
n → ∞
xn
yn

  = 1.

 

Эквивалентность последовательностей {xn} и {yn} обозначается так: xn ~ yn.

Теорема 7. Если xn ~ an,   yn ~ bn и существует конечный или бесконечный  

lim
n → ∞
an
bn

,   то существует и  

lim
n → ∞
xn
yn

  ,   причем  

lim
n → ∞
xn
yn

  =

lim
n → ∞
an
bn

  .

 

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 23.

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь