Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).
Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A =
| lim |
| x → + ∞ |
f(x) ), если
| « ε > 0 $ N: « x > N Ю |f(x) − a| < ε. |
Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).
Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A =
| lim |
| x → − ∞ |
f(x) }, если
| « ε > 0 $ N: « x < − N Ю |f(x) − a| < ε. |
Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A называется пределом функции f(x) при x → ∞ {обозначается
A =
| lim |
| x → ∞ |
f(x) .
Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.
Наклонные асимптоты графика функции
Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞). Обозначим символом α разность ординат точек графика функции f(x ) и прямой y = kx + b при одном и том же значении x (рис. 1), т.е. α(x) = f(x) − (kx + b).
Если
| lim |
| x → + ∞ |
α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (правой) асимптотой графика функции
y = f(x) при x → + ∞ .
Теорема 1. Прямая y = kx + b является (правой) асимптотой графика y = f(x) при x → + ∞ тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы, определяющие параметры асимптоты:
k =
, b =
[f(x) − kx]. |
(1) |
Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то график y = f(x) не имеет правой асимптоты.
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 36.
Если
| lim |
| x → − ∞ |
α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (левой) асимптотой графика функции
y = f(x) при x → − ∞.
Если
| lim |
| x → ∞ |
α(x) = 0, то прямая y = kx + b называется (двусторонней) асимптотой графика функции y = f(x) при x → ∞.
Существование левой и двусторонней асимптот графика функции y = f(x) определяется аналогично теореме 1, т.е. существованием пределов типа (1) при x → − ∞ и x → ∞ соответственно.
При k ≠ 0 асимптоты называются наклонными, при k = 0 — горизонтальными.
