Бесконечно малые функции

Функция α(x), определенная в

·

O

(x 0), называется бесконечно малой функцией при x → x0, если

lim x → x0 α(x) = 0.

Свойства бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x0,  и f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Тогда

1. α(x) + β(x) — бесконечно малая функция при x → x0;
2. α(x) · f(x) — бесконечно малая функция при x → x0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 68.

Теорема 1 (о связи предела с бесконечно малой функцией). Для того, чтобы существовал

lim x → x0 f(x) = A,

 

необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде

 

f(x) = A + α(x),

 

где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Если f(x) — бесконечно большая функция при x → x0, то  
   

   1

   f(x)

     — бесконечно малая функция при x → x0.

2. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → x0   и   «x О
   

   ·

   O

   (x0)    α(x) ≠ 0,   то  

   1

   α(x)

     — бесконечно большая функция при x → x0.

Доказательства этих утверждений приведены в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 70–71.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x 0, отличные от нуля в некоторой окрестности точки x0.

1. Если
   

   lim x → x0 α(x) β(x)   = 0,

    

   то α(x) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с β(x) и обозначается с помощью символа “o малое”: α = o(β) при x → x0.

2. Если
   

   lim x → x0 α(x) β(x)   = C,

    

   где C — любое число, не равное нулю, то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка: α ~ β при x → x0.

3. Если
   

   lim x → x0 α(x) β(x)   = 1,

    

   то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями:
   α ~ β при x → x0.

4. Если
   

   lim x → x0 α(x) β(x)

    

   не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

При вычислении пределов широко используется теорема o замене функций на эквивалентные:

Теорема 2. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию (или только одну из них) заменить на эквивалентную, т.е. если α(x) ~ α1(x) и β(x) ~ β1(x), то

lim x → x0 α β   = lim x → x0 α1 β1 .

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и в тех случаях, когда оба предела бесконечны или не существуют.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 77.

При вычислении пределов с помощью замены бесконечно малых функций на эквивалентные используется

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

При условии, что α(x) → 0 при x → x0

sin α(x) ~ α(x)		1 − cos α(x) ~ α(x)2 2
tg α(x) ~ α(x)		arcsin α(x) ~ α(x)
arctg α(x) ~ α(x)		eα(x) − 1 ~ α(x)
a α(x) − 1 ~ α(x) · ln a		ln[1 + α(x)] ~ α(x)
log a[1 + α(x)] ~   α(x) ln a		[1 + α(x)]m − 1 ~ mα(x)